Statistische Methoden II SS 2008 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Makarenkostraße (Kiste) Übungen Gruppe 2: Hermann Haase Di SR 222 Gruppe 1: Hermann Haase Di SR 222 Gruppe 5: Svenja Schützhold Di SR 222 Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14: :00 HS 11 Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16:00 -18:00 SR 5 Gruppe 4: Sabine Storandt Mi SR 222 Gruppe 3: - fällt weg - Mi SR 222 Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi SR 3 SR 222 : Fleischmannstraße 6 SR : Loefflerstraße 70 HS 11 : Domstraße 9a (Hist. Institut)

Statistische Methoden I WS 2007/2008 Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See? Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel Ruin der Spieler 4.5. Anwendungen

III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Statistische Methoden I WS 2007/2008 Literatur 1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik

Die wichtigsten Tabellen

Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

Chi-Quadrat-Tests Übersicht

Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

Weitere nützliche Übersichten in den Powerpoint-Präsentationen der Vorlesung!

Beschreibende Statistik

Darstellung von Daten (Stem-Leaf-Diagramm, Box-Plot) Absolute und relative Häufigkeiten Empirische Verteilungsfunktion Lageparameter (arithmetisches Mittel, Median, Quantile, Quartile) Streuungsparameter (Varianz, emp. Varianz, Streuung) Lorenz-Kurve, Gini-Koeffizient Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Regressionsrechnung (lineare Regression, Regressionsgerade, Bestimmtheitsmaß) Peisindex nach Laspeyres und nach Paasche Zentrale Themen (praktischer Teil)

Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 1. Semester 2.Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester

Häufigkeiten Gegeben ist eine Datenliste (Urliste) (hier z. B. die Klausur-Noten von 50 Studenten) Hier die geordneten Daten

Absolute Häufigkeiten H(1) = 5 H(2) = 6 H(3) = 18 H(4) = 15 H(5) = 6 h(1) = 0.1 h(2) = 0.12 h(3) = 0.36 h(4) = 0.3 h(5) = 0.12 Relative Häufigkeiten Kumulierte relative Häufigkeiten F(1) = 0.1 F(2) = 0.22 F(3) = 0.58 F(4) = 0.88 F(5) = 1

Fakultäten EMAU Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm T: Theologische RSW: Rechts- und Staatswiss. Med: Medizinische Phil: Philosophische MathNat: Mathematisch-Naturwiss. K: Studienkolleg,... h(T) = h(RSW) = 0.22 h(Med) = h(Phil) = h(MathNat) = h(K) = Grad 79.2 Grad Grad Grad Grad 7.92 Grad

Kreisdiagramm Fakultäten EMAU

Stabdiagramm Zähne

Histogram Zähne

Empirische Verteilungsfunktion Zähne

Stem-Leaf-Diagramm Bei diesem Diagramm werden meist (siehe aber Aufgabe 3) nur die beiden führenden Ziffern berücksichtigt. Die erste Ziffer wird links von einer senkrecht gezogenen Linie eingetragen. Damit hat man den Stamm. Die zweiten Ziffern - die Blätter - werden rechts davon notiert, und zwar zeilenweise aufsteigend geordnet. Dabei muss jeder Wert des Datensatzes durch eine zweite Ziffer (ggf. Null!) repräsentiert werden. Kaltmieten

Charakterisierung von Merkmalen Merkmalen quantitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Größe qualitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Art Unterscheidung nach der zugrundeliegenden Werteskala Nominal- Ordinal- metrische Skala Unterscheidung zwischen qualitativen quantitativen

Nominal: keine Rangordnung Ordinal: Rangordnung, aber Zwischenwerte nicht interpretierbar metrisch:Rangordnung, Werte zwischen 2 Werten erlauben eine Interpretation Unterscheidung nach diskreten stetigen Merkmalen diskret: Menge der Werte abzählbar (evtl. abzählbar unendlich) stetig:Menge der Werte kontinuierlich, (z.B. reelle Zahlen oder ein Intervall reeller Zahlen)

Ordinal, diskret

metrisch, diskret

metrisch, stetig

Ordinal, diskret

Arithmetisches Mittel Merkmal Datensatz

Median Merkmal Geordneter Datensatz n ungerade: Wert, der in der Mitte steht n gerade: arithmetisches Mittel der beiden Werte, die in der Mitte stehen

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Quantile

Boxplot Ober-, Untergrenze der Box: oberes, unteres Quartil dicker Strich in der Box: Median Ausreißer nach oben: Werte > oberes Quartil Quartilsabstand Ausreißer nach unten: Werte < unteres Quartil Quartilsabstand Jeder Ausreißer wird mit einem Symbol gesondert einge- tragen. Antennen: größter und kleinster Wert in der Datenliste, der kein Ausreißer ist

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Mittelwert oder Median Grobe Faustregeln Metrische Skalierung Ordinale Skalierung Ausreißer wahrscheinlich Wenn sich die Werte irdendwie gegeneinander ausgleichen Mittelwert Median Mittelwert

Streuungsparameter Median Mittlere Abweichung vom Median Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

Streuungsparameter Mittelwert Varianz Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

Dazu die Lorenz-Kurve:

Berechnung des Gini-Koeffizienten

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

Dazu die Lorenz-Kurve:

Datenmatrix

Datentabelle für 2 Merkmale

Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle

Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Kovarianz (X,Y) (Streuung X) (Streuung Y)

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

X größerY größer X größerY kleiner

Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang

Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 1.00

Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 0.00

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: -0.62

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen ( Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit ) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

Aufgaben der Regressionsrechnung Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die Zukunft extrapolieren. Man erstellt eine Prognose. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine Zeit x der Zukunft den Wert y = f(x) zu schätzen. 1. Extrapolation

2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b, so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den Punkt (a,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

Im Falle linearer Regression ist das Bestimmtheitsmaß gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson!

In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in Euro

Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Mittelwerte Varianzen Kovarianz

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Aufgabe 9

Aufgabe 10

Statistische Maßzahlen Bisher : Lagemaße Mittelwert Median Quantile (Quartile) Streuungsmaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation KonzentrationsmaßeGini-Koeffizient

Verhältniszahlen Beziehungs- zahlen Gliederungs- zahlen Index- zahlen

Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0 Berichtsperiode t

Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t

Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche

Aggregatform

Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt: Zigaretten Bier Kaffee

Index 0 Index 1 Index 2 Index

Aufgabe 11