Lehrstuhl für Algebra und funktionalanalytische Anwendungen

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1 Lehrstuhl für Algebra und funktionalanalytische Anwendungen
Institut für Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Algebra und funktionalanalytische Anwendungen

2 Statistische Methoden I+II
2009/2010 Literatur 1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik

3 Statistische Methoden I+II 2009/2010
Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See? Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

4 II. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

5 4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen

6 III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

7 3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

8 Wahrscheinlichkeitstheorie
Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial 1. Semester Wahrscheinlichkeitstheorie Vorstufe zur Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 2. Semester

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10 Die wichtigsten Tabellen

11 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

12 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

13 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz bekannt

14 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt

15 Übersicht Chi-Quadrat-Tests

16 Test auf Unabhängigkeit
Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

17 Beschreibende Statistik

18 Zentrale Themen Darstellung von Daten (Box-Plot)
(praktischer Teil) Darstellung von Daten (Box-Plot) Absolute und relative Häufigkeiten Empirische Verteilungsfunktion Lageparameter (arithmetisches Mittel, Median, Quantile, Quartile) Streuungsparameter (Varianz, emp. Varianz, Streuung) Lorenz-Kurve, Gini-Koeffizient Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Regressionsrechnung (lineare Regression, Regressionsgerade, Bestimmtheitsmaß) Peisindex nach Laspeyres und nach Paasche

19 Wahrscheinlich- keitstheorie Beschreibende Statistik
(= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial 1. Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 2.Semester

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26 Häufigkeiten Gegeben ist eine Datenliste (Urliste)
(hier z. B. die Klausur-Noten von 50 Studenten) Hier die geordneten Daten

27 Kumulierte relative Häufigkeiten
Absolute Häufigkeiten h(1) = 0.1 h(2) = 0.12 h(3) = 0.36 h(4) = 0.3 h(5) = 0.12 Relative Häufigkeiten F(1) = 0.1 F(2) = 0.22 F(3) = 0.58 F(4) = 0.88 F(5) = 1 Kumulierte relative Häufigkeiten

28 Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm
Fakultäten EMAU Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm T: Theologische RSW: Rechts- und Staatswiss. Med: Medizinische Phil: Philosophische MathNat: Mathematisch-Naturwiss. K: Studienkolleg, ... h(T) = 0.011 h(RSW) = 0.22 h(Med) = 0.164 h(Phil) = 0.309 h(MathNat) = 0.273 h(K) = 0.022 3.96 Grad Grad 59.04 Grad Grad 98.28 Grad 7.92 Grad

29 Kreisdiagramm Fakultäten EMAU

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31 Stabdiagramm „Zähne“

32 Histogram „Zähne“

33 Empirische Verteilungsfunktion
„Zähne“

34 Charakterisierung von Merkmalen
Unterscheidung zwischen qualitativen quantitativen Merkmalen quantitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Größe qualitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Art Unterscheidung nach der zugrundeliegenden Werteskala Nominal- Ordinal- metrische Skala

35 Nominal: keine Rangordnung
Ordinal: Rangordnung, aber Zwischenwerte nicht interpretierbar metrisch: Rangordnung, Werte zwischen 2 Werten erlauben eine Interpretation Unterscheidung nach diskreten stetigen Merkmalen diskret: Menge der Werte abzählbar (evtl. abzählbar unendlich) stetig: Menge der Werte kontinuierlich, (z.B. reelle Zahlen oder ein Intervall reeller Zahlen)

36 Ordinal, diskret

37 metrisch, diskret

38 metrisch, stetig

39 Ordinal, diskret

40 Arithmetisches Mittel
Merkmal Datensatz

41 Median Merkmal Geordneter Datensatz
n ungerade: Wert, der in der Mitte steht n gerade: arithmetisches Mittel der beiden Werte, die in der Mitte stehen

42 Aufgabe 1

43 Richtig sind nur die Antworten
(a) und (b) (c) und (b) (a) und (c) (a), (b) und (c)

44 Aufgabe 2

45 Richtig sind nur die Antworten
(a) und (b) (a), (b) und (e) (c) und (e) (c) und (b)

46 Quantile

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50 Boxplot Ober-, Untergrenze der „Box“: oberes, unteres Quartil
„dicker Strich“ in der Box: Median Ausreißer nach oben: Werte > oberes Quartil Quartilsabstand Ausreißer nach unten: Werte < unteres Quartil Quartilsabstand Jeder Ausreißer wird mit einem Symbol gesondert einge- tragen. Antennen: größter und kleinster Wert in der Datenliste, der kein Ausreißer ist

51 Aufgabe 3

52 Arithmetisches Mittel und Median betragen

53 Unteres und oberes Quartil betragen

54 Der Boxplot ergibt sich
so so so oder so

55 Aufgabe 4

56 Der Median ergibt sich zu
45,5 34,5 67 63,5

57 Unteres und oberes Quartil ergeben sich zu

58 Die Quantile betragen 70 und 104 60 und 105,5 65,5 und 105 60 und 106,5

59 Mittelwert oder Median
Grobe Faustregeln Metrische Skalierung Mittelwert Ordinale Skalierung Median Ausreißer wahrscheinlich Median Wenn sich die Werte „irdendwie“ gegeneinander ausgleichen Mittelwert

60 Streuungsparameter Median Mittlere Abweichung vom Median
Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

61 Streuungsparameter Mittelwert Varianz
Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

62 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung