Statistische Methoden I

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1 Statistische Methoden I
WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

2 II. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.3. Erwartungswert und Varianz

3 III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

4 3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

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6 Beschreibende Statistik

7 Wahrscheinlich- keitstheorie Beschreibende Statistik
(= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial 1. Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 2.Semester

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14 Häufigkeiten Gegeben ist eine Datenliste (Urliste)
(hier z. B. die Klausur-Noten von 50 Studenten) Hier die geordneten Daten

15 Kumulierte relative Häufigkeiten
Absolute Häufigkeiten h(1) = 0.1 h(2) = 0.12 h(3) = 0.36 h(4) = 0.3 h(5) = 0.12 Relative Häufigkeiten F(1) = 0.1 F(2) = 0.22 F(3) = 0.58 F(4) = 0.88 F(5) = 1 Kumulierte relative Häufigkeiten

16 Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm
Fakultäten EMAU Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm T: Theologische RSW: Rechts- und Staatswiss. Med: Medizinische Phil: Philosophische MathNat: Mathematisch-Naturwiss. K: Studienkolleg, ... h(T) = 0.011 h(RSW) = 0.22 h(Med) = 0.164 h(Phil) = 0.309 h(MathNat) = 0.273 h(K) = 0.022 3.96 Grad Grad 59.04 Grad Grad 98.28 Grad 7.92 Grad

17 Kreisdiagramm Fakultäten EMAU

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19 Stabdiagramm „Zähne“

20 Histogram „Zähne“

21 Empirische Verteilungsfunktion
„Zähne“

22 Stem-Leaf-Diagramm Bei diesem Diagramm werden meist nur die beiden führen- den Ziffern berücksichtigt. Die erste Ziffer wird links von Einer senkrecht gezogenen Linie eingetragen. Damit hat man den Stamm. Die zweiten Ziffern - die Blätter - werden rechts davon notiert, und zwar zeilenweise aufsteigend geordnet. Dabei muss jeder Wert des Datensatzes durch eine zweite Ziffer (ggf. Null!) repräsentiert werden. Kaltmieten

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24 Charakterisierung von Merkmalen
Unterscheidung zwischen qualitativen quantitativen Merkmalen quantitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Größe qualitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Art Unterscheidung nach der zugrundeliegenden Werteskala Nominal- Ordinal- metrische Skala

25 Nominal: keine Rangordnung
Ordinal: Rangordnung, aber Zwischenwerte nicht interpretierbar metrisch: Rangordnung (Reihenfolge), Werte zwischen 2 Werten erlauben eine Interpretation Unterscheidung nach diskreten stetigen Merkmalen diskret: Menge der Werte abzählbar (evtl. abzählbar unendlich) stetig: Menge der Werte kontinuierlich, (z.B. reelle Zahlen oder ein Intervall reeller Zahlen)

26 Ordinal, diskret

27 metrisch, diskret

28 metrisch, stetig

29 Ordinal, diskret

30 Arithmetisches Mittel
Merkmal Datensatz

31 Median Merkmal Geordneter Datensatz
n ungerade: Wert, der in der Mitte steht n gerade: arithmetisches Mittel der beiden Werte, die in der Mitte stehen

32 Achtung Aufgabe!

33 Achtung noch eine Aufgabe!

34 Quantile

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38 Boxplot Ober-, Untergrenze der „Box“: oberes, unteres Quartil
„dicker Strich“ in der Box: Median Ausreißer nach oben: Werte > oberes Quartil Quartilsabstand Ausreißer nach unten: Werte < unteres Quartil Quartilsabstand Jeder Ausreißer wird mit einem Symbol gesondert einge- tragen. Antennen: größter und kleinster Wert in der Datenliste, der kein Ausreißer ist

39 Achtung Aufgabe!

40 Achtung noch eine Aufgabe!

41 Mittelwert oder Median
Grobe Faustregeln Metrische Skalierung Mittelwert Ordinale Skalierung Median Ausreißer wahrscheinlich Median Wenn sich die Werte „irdendwie“ gegeneinander ausgleichen Mittelwert

42 Streuungsparameter Median Mittlere Abweichung vom Median
Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

43 Streuungsparameter Mittelwert Varianz
Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

44 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

45 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

46 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

47 Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

48 Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße
Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

49 Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert.
Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

50 Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte
auf der Lorenz-Kurve:

51 Dazu die Lorenz-Kurve:

52 Berechnung des Gini-Koeffizienten

53 Achtung Aufgabe!

54 Achtung noch eine Aufgabe!

55 Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

56 Dazu die Lorenz-Kurve:

57 Datenmatrix

58 Datentabelle für 2 Merkmale

59 Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

60 Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

61 Betriebe und hinterzogene Steuer
Kontingenztabelle X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges

62 Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

63 Korrelationskoeffizient
nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

64 X größer Y größer X größer Y kleiner

65 Positiver strikter Zusammenhang
Negativer strikter Zusammenhang

66 Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen
von Ausprägungen

67 Korrelationskoeffizient: 1.00

68 Korrelationskoeffizient: 0.52

69 Korrelationskoeffizient: 0.00

70 Korrelationskoeffizient: -0.62

71 Achtung Aufgabe!

72 Achtung noch eine Aufgabe!

73 Mögliche Funktionenklassen
für die Regressionsrechnung

74 Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen (Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

75 Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung)
Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

76 Aufgaben der Regressionsrechnung
1. Extrapolation Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“ extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der „Zukunft“ den Wert y = f(x) zu schätzen.

77 2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für
Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

78 Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von
minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“ (a ,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

79 Steigung der Regressionsgeraden
Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

80 Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der
Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

81 In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen
soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in Euro

82 Demonstrationsbeispiel
Lineare Regression Varianzen Mittelwerte Kovarianz

83 Steigung der Regressionsgeraden
Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

84 Achtung Aufgabe!

85 Achtung noch eine Aufgabe!

86 Statistische Maßzahlen
Bisher: Mittelwert Median Quantile (Quartile) Lagemaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation Streuungsmaße Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient

87 Verhältniszahlen Index- zahlen Gliederungs- zahlen Beziehungs- zahlen

88 Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0
Berichtsperiode t

89 Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t

90 Preisindex nach Laspeyres
Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

91 Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche

92 Aggregatform

93 Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns
einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: Zigaretten Bier Kaffee In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt:

94 Index 0 1950 Index 1 1951 Index 2 1952 Index 3 1953

95 Achtung Aufgabe!