Statistische Methoden II SS 2007 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen.

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1 Statistische Methoden II SS 2007 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 3: Melanie Hinz Di 8.00 - 10.00 Gruppe 1: Rüdiger Zeller Di 10.00 - 12.00 Gruppe 6: Melanie Hinz Di 12.00 - 14.00 Gruppe 4: Hermann Haase Mi 8.00 - 10.00 Gruppe 5: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 Gruppe 2: Marcus Vollmer Mi 12.00 - 14.00 Ort: SR 222 Fleischmannstraße 6, 2. OG Beginn der Übungen nächste Woche

2 Statistische Methoden I WS 2006/2007 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

3 II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

4 4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel Ruin der Spieler 4.5. Anwendungen

5 III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

6 3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

7 Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 1. Semester 2.Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester

8 Die hypergeometrische Verteilung Notation

9 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

10 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

11 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

12 Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

13 Schätzproblem Schätzer

14 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung

15 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung E g

16 Berliner Taxifahrer Ein Berliner Taxifahrer notierte imJanuar 1987 während 5 Schichten mit je 20 Fahrten, welchen Prozentsatz des Fahrpreises lt. Taxameterdie Fahrgäste als Trinkgeld gaben.

17 Stichprobe (diskreter Fall)

18 Mathematischer Rahmen

19 Stichprobenfunktionen (Beispiele)

20 Stichprobenfunktionen Beispiel Taxifahrer

21 SonntagseinsätzeFeuerwache

22

23 Mittlerer quadratischer Fehler Gegeben sind: Statistische Struktur Schätzproblem Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe Schätzer

24 Feuerwache Angepasste Poisson-Verteilungen

25 Stichproben (stetiger Fall)

26 Mathematischer Rahmen

27 Statistische Struktur diskret stetig

28

29 Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

30 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

31 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

32 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

33 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See: ist M-L-Schätzer !

34 Likelihood-Funktion

35 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

36 Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

37 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

38 Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

39 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

40 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

41 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

42 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

43 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

44 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

45 Übersicht

46 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

47 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

48 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

49 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

50 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

51 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

52 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

53 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

54 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu