Statistische Methoden II SS 2008

Präsentation zum Thema: "Statistische Methoden II SS 2008"—  Präsentation transkript:

1 Statistische Methoden II SS 2008
Vorlesung: Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag (Pause: ) Ort: Hörsaal Makarenkostraße (Kiste) Übungen Gruppe 2: Henrike Berg Di SR 222 Gruppe 1: Hermann Haase Di SR 222 Gruppe 5: Svenja Schützhold Di SR 222 Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14: :00 SR 4 ?? Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16: :00 SR 5 Gruppe 4: Sabine Storandt Mi SR 222 Gruppe 3: Hermann Haase Mi SR 222 Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi SR 3 SR 222 : Fleischmannstraße 6 SR 3, 4 + 5: Loefflerstraße 70

2

3 Statistische Methoden I
WS 2007/2008 Literatur 1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik

4 Statistische Methoden I + II 2007/2008
Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See? Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

5 II. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

6 4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen

7 III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

8 3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

9 Beschreibende Statistik
(= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial 1. Semester Vorstufe zur Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 2. Semester

10 Statistische Struktur
diskret stetig

11 Maximum-Likelihood-Schätzer
(diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

12 ist die beste Erklärung für die
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

13 Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität:  ) M-L-Schätzer für  oder

14 Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

15 Maximum-Likelihood-Schätzer
(stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

16 ist die beste Erklärung für die
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

17 M-L-Schätzer Erwartungswert
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

18 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

19 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

20 Übersicht

21 Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

22 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

23 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

24 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

25 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

26 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

27 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

28 Übersicht nicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu

29 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

30 Konfidenzintervalle Intervallschätzung
Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

31 Die Ungleichung von Tschebyschev

32 Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt.
(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

33 Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von 
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

34 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

35 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

36 In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

37 für die Normalvertreilung
Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung