Statistische Methoden I WS 2006/2007 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial.

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1 Statistische Methoden I WS 2006/2007 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

2 II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

3 4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel Ruin der Spieler 4.5. Anwendungen

4 III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

5 3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

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7 Die wichtigsten Tabellen

8 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

9 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

10 Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

11 Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

12 Chi-Quadrat-Tests Übersicht

13 Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

14 Weitere nützliche Übersichten in den Powerpoint-Präsentationen der Vorlesung! http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/

15 Beschreibende Statistik

16 (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 1. Semester 2.Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester

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23 Häufigkeiten Gegeben ist eine Datenliste (Urliste) (hier z. B. die Klausur-Noten von 50 Studenten) 3 3 4 5 2 1 3 3 4 3 2 3 4 4 4 5 2 1 3 3 3 3 4 4 4 5 4 3 4 3 2 3 3 2 4 3 2 1 5 4 4 4 5 4 5 1 1 3 3 3 Hier die geordneten Daten 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5

24 Absolute Häufigkeiten H(1) = 5 H(2) = 6 H(3) = 18 H(4) = 15 H(5) = 6 h(1) = 0.1 h(2) = 0.12 h(3) = 0.36 h(4) = 0.3 h(5) = 0.12 Relative Häufigkeiten Kumulierte relative Häufigkeiten F(1) = 0.1 F(2) = 0.22 F(3) = 0.58 F(4) = 0.88 F(5) = 1

25 Fakultäten EMAU Berechnung der Winkel für ein Kreisdiagramm T: Theologische RSW: Rechts- und Staatswiss. Med: Medizinische Phil: Philosophische MathNat: Mathematisch-Naturwiss. K: Studienkolleg,... h(T) = 0.011 h(RSW) = 0.22 h(Med) = 0.164 h(Phil) = 0.309 h(MathNat) = 0.273 h(K) = 0.022 3.96 Grad 79.2 Grad 59.04 Grad 111.24 Grad 98.28 Grad 7.92 Grad

26 Kreisdiagramm Fakultäten EMAU

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28 Stabdiagramm Zähne

29 Histogram Zähne

30 Empirische Verteilungsfunktion Zähne

31 Stem-Leaf-Diagramm Bei diesem Diagramm werden meist nur die beiden führen- den Ziffern berücksichtigt. Die erste Ziffer wird links von einer senkrecht gezogenen Linie eingetragen. Damit hat man den Stamm. Die zweiten Ziffern - die Blätter - werden rechts davon notiert, und zwar zeilenweise aufsteigend geordnet. Dabei muss jeder Wert des Datensatzes durch eine zweite Ziffer (ggf. Null!) repräsentiert werden. Kaltmieten

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33 Charakterisierung von Merkmalen Merkmalen quantitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Größe qualitative: Merkmale unterscheiden sich nach der Art Unterscheidung nach der zugrundeliegenden Werteskala Nominal- Ordinal- metrische Skala Unterscheidung zwischen qualitativen quantitativen

34 Nominal: keine Rangordnung Ordinal: Rangordnung, aber Zwischenwerte nicht interpretierbar metrisch:Rangordnung (Reihenfolge), Werte zwischen 2 Werten erlauben eine Interpretation Unterscheidung nach diskreten stetigen Merkmalen diskret: Menge der Werte abzählbar (evtl. abzählbar unendlich) stetig:Menge der Werte kontinuierlich, (z.B. reelle Zahlen oder ein Intervall reeller Zahlen)

35 Ordinal, diskret

36 metrisch, diskret

37 metrisch, stetig

38 Ordinal, diskret

39 Arithmetisches Mittel Merkmal Datensatz

40 Median Merkmal Geordneter Datensatz n ungerade: Wert, der in der Mitte steht n gerade: arithmetisches Mittel der beiden Werte, die in der Mitte stehen

41 Achtung Aufgabe!

42 Achtung noch eine

43 Quantile

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47 Boxplot Ober-, Untergrenze der Box: oberes, unteres Quartil dicker Strich in der Box: Median Ausreißer nach oben: Werte > oberes Quartil + 1.5 Quartilsabstand Ausreißer nach unten: Werte < unteres Quartil - 1.5 Quartilsabstand Jeder Ausreißer wird mit einem Symbol gesondert einge- tragen. Antennen: größter und kleinster Wert in der Datenliste, der kein Ausreißer ist

48 Achtung Aufgabe!

49 Achtung noch eine

50 Mittelwert oder Median Grobe Faustregeln Metrische Skalierung Ordinale Skalierung Ausreißer wahrscheinlich Wenn sich die Werte irdendwie gegeneinander ausgleichen Mittelwert Median Mittelwert

51 Streuungsparameter Median Mittlere Abweichung vom Median Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

52 Streuungsparameter Mittelwert Varianz Die Ungleichung gilt für jede Konstante c.

53 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

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56 Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

57 Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

58 Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

59 Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

60 Dazu die Lorenz-Kurve:

61 Berechnung des Gini-Koeffizienten

62 Achtung Aufgabe!

63 Achtung noch eine

64 Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

65 Dazu die Lorenz-Kurve:

66 Datenmatrix

67 Datentabelle für 2 Merkmale

68 Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

69 Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

70 X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle

71 Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

72 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

73 X größerY größer X größerY kleiner

74 Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang

75 Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

76 Korrelationskoeffizient: 0.905 Korrelationskoeffizient: 1.00

77 Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52

78 Korrelationskoeffizient: -0.14 Korrelationskoeffizient: 0.00

79 Korrelationskoeffizient: -1.00 Korrelationskoeffizient: -0.62

80 Achtung Aufgabe!

81 Achtung noch eine

82 Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

83 Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen ( Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit ) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

84 Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

85 Aufgaben der Regressionsrechnung Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die Zukunft extrapolieren. Man erstellt eine Prognose. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine Zeit x der Zukunft den Wert y = f(x) zu schätzen. 1. Extrapolation

86 2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

87 Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b, so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den Punkt (a,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

88 Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

89 Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

90 In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

91 Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Mittelwerte Varianzen Kovarianz

92 Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

93 Achtung Aufgabe!

94 Achtung noch eine

95 Statistische Maßzahlen Bisher : Lagemaße Mittelwert Median Quantile (Quartile) Streuungsmaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation KonzentrationsmaßeGini-Koeffizient

96 Verhältniszahlen Beziehungs- zahlen Gliederungs- zahlen Index- zahlen

97 Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0 Berichtsperiode t

98 Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t

99 Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

100 Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche

101 Aggregatform

102 Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt: Zigaretten Bier Kaffee

103 Index 0 Index 1 Index 2 Index 3 1950 1951 1952 1953

104 Achtung Aufgabe!