Kolmogorov-Smirnov-Test

A. N. Kolmogorov Geboren in Tambov, Russland. Begründer der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.

V. I. Smirnov Geboren in St. Petersburg, Russland

Regen Regen in Melbourne Niederschlag in mm in den Wintermonaten gemessen in 3 Jahren: Die ersten 10 Werte geordnet Klassierung

Die Exponential-Verteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

M-L-Schätzer für den Parameter einer Exponentialverteilung Für den Parameter ist der M-L-Schätzer durch gegeben.

Chi-Quadrat-Verteilung

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I Berechnung Abstände berechnen ) Hypothese

Empirische Verteilungsfunktion Zähne

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III Ablehnungsbereich Niveau 0.05

Kolmogorov-Smirnov-Test für Regen in Melbourne I Achtung! Achtung! Eigentlich ist der Stichprobenumfang mit n = 10 zu klein, um den Kolmogorov-Smirnov-Test in der hier besprochenen Form anwenden zu können. Eine Faustregel besagt, dass n > 40 sein sollte. Unsere Beispiele dienen also nur zu Demonstrationszwecken!! Siehe aber Mietenbeispiel!!

Regen Regen in Melbourne Niederschlag in mm in den Wintermonaten gemessen in 3 Jahren: Die ersten 10 Werte geordnet Klassierung

Kolmogorov-Smirnov-Test für Regen in Melbourne II Arbeitstabelle

Durchmesser von Schrauben Klassenbildung

Durchmesser von Schrauben 1. Methode Hypothese: Der Durchmesser der Schrauben ist normalverteilt mit = 0.75 = Da für die Normalverteilung N(0.75, 0.001) die Wahrschein- lichkeiten für die Klassenintervalle alle gleich 1/3 sind: Anpassung Chi-Quadrat-Test auf Anpassung mit = (1/3, 1/3, 1/3 )

Chi-Quadrat-Verteilung

Durchmesser von Schrauben 2. Methode(Kolmogorov- Smirnov-Test) Arbeitstabelle

Durchmesser von Schrauben und nicht spezifiziert Arbeitstabelle

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Test auf Normalverteilung Umsetzung in einen Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Beispiel Mieten

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

1,2,3 4,5 6,7 8,9 Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5: Klasse 6: Wir fassen die Klassen 10,11 und 12, 13, 14 jeweils zu einer Klasse zusammen und erhalten so 6 Klassen:

Leichte Abschwächung der Faustregel für den Chi-Quadrat-Test auf Anpassung (vgl. Fahrmeier/Künstler/Pigeot/Tutz) für alle Indizes k für 80% der Indizes k

Chi-Quadrat-Verteilung

Test auf Normalverteilung Kolmogorov-Smirnov-Test Beispiel Mieten

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Einfache Varianzanalyse

Datenliste

Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

Mittelwerte der Klassen und Gesamtmittelwert

Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

Mittelwert Betrieb 1 Mitttelwert Betrieb 2 Mittelwert Betrieb 3 Gesamt- Mittelwert

F-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade m, n

Die F-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte : Gamma-Funktion

Geboren in London. Einer der Begründer der modernen Statistik Er führte den Be- griff maximum likelihood ein und ist der Erfinder der Varianzanalyse.

unabhängige Für zwei unabhängige Zufallsvariablen Y und Z mit hat man: Mathematische Bedeutung der F -Verteilung

unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

Durchführung der einfachen Varianzanalyse I Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert N: Gesamtumfang der Stichproben; r: Zahl der Betriebe 1 2 Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 Berechnung von Benötigte Daten:

Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

Durchführung der einfachen Varianzanalyse III Bestimmung von Ablehnungsbereich Berechnung von

F-Verteilung

3 Kartoffelsorten Ertrag in Doppelzentnern

F-Verteilung