Induktive Statistik.

Präsentation zum Thema: "Induktive Statistik."—  Präsentation transkript:

1 Induktive Statistik

2 Statistische Struktur
(diskreter Fall) Dabei sind:

3 Schätzproblem Schätzer

4 (mögliche Beobachtungen)
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell Θ

5 (mögliche Beobachtungen)
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell g Θ E

6 Stichprobe (diskreter Fall)

7 Mathematischer Rahmen

8 Statistische Struktur
diskret stetig

9 Maximum-Likelihood-Schätzer
(diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

10 ist die beste Erklärung für die
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

11 Likelihood-Funktion

12 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

13 Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität:  ) M-L-Schätzer für  oder

14 Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

15 Maximum-Likelihood-Schätzer
(stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

16 ist die beste Erklärung für die
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

17 Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

18 M-L-Schätzer Erwartungswert
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

19 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

20 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

21 Übersicht

22 Aufgabe 1

23 Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

24 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

25 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

26 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

27 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

28 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

29 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

30 Übersicht nicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu

31 Konfidenzintervalle Intervallschätzung
Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

32 Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt.
(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

33 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

34 Die Gauß- oder Normalverteilung

35 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

36 Erwartungswert Varianz

37 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau 

38 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n (n  100)

39 Aufgabe 2

40 Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!

41 Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

42 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

43 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

44 Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

45 Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

46 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

47 Übersicht Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

48 Aufgabe 3

49 für die Normalvertreilung
Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

50 TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

51 Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

52 Mathematischer Rahmen I
TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

53 Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch:
TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

54 Mathematischer Rahmen III
TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

55 Fehler erster und zweiter Art

56 Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

57 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit,
einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, keinen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

58 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz bekannt

59 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt

60 Aufgabe 4

61 Aufgabe 5

62 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall
2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

63 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall
Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich  bestimmt durch

64 Aufgabe 6

65 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall
2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y Hypothese:

66 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall
Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich  bestimmt durch

67 Aufgabe 7

68 Chi-Quadrat-Tests

69 Chi-Quadrat-Test auf Anpassung
Hypothese Ablehnungsbereich

70 Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

71 Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III
(siehe: Gelbrich) Typ I II III Vermutung Prozentsatz 30 50 20 Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) Typ I II III Anzahl 30 32 18

72 Prozentsätze nach der Theorie
Mendelsche Gesetze Prozentsätze nach der Theorie rund und gelb runzelig und gelb rund und grün runzelig und grün 0.5625 0.1875 0.0625

73 Beobachtete Häufigkeiten
rund und gelb runzelig und gelb rund und grün runzelig und grün 271 88 93 28 Summe 480

74 Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen

75 Aufgabe 8

76 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit I

77 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit II
Hypothese Ablehnungsbereich

78 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit III

79 Berufsstatus Vater - Sohn
Y X 38

80

81 Sonntagsfrage Die Ergebnisse der Sonntagsfrage:
(Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: „Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären?“ sind für den Be- fragungszeitraum in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

82 Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht
Das Untersuchungsziel ist festzustellen, ob die voneinander abweichenden Häufigkeiten für Männer und Frauen rein zufällige Schwankungen Darstellen oder ob zwischen Geschlecht und Partei- präferenz ein Zusammenhang besteht. Nullhypothese: Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht kein Zusammenhang

83 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit
zum Niveau = 0.05

84 Aufgabe 9

85 Chi-Quadrat-Test auf Homogenität
Hypothese Ablehnungsbereich

86 Produktion zweier Betriebe

87 (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz)
KREDITWÜRDIGKEIT (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Eine Bank steht vor dem Problem, einen potentiellen Kreditnehmer einzuschätzen und den Kredit zu vergeben, oder ihn der Klasse der Problemfälle zuzuordnen und auf das Kreditgeschäft zu verzichten bzw.eine genauere Prüfung vorzunehmen. Gesucht wird ein Prädikator für die Kreditwürdigkeit. Hierzu werden 1000 Konsumentenkredite betrachtet. Für jeden Kunden aus dieser Stichprobe ist seine Kredit- würdigkeit X bekannt. Als weiteres Merkmal Y wird notiert, ob der Kunde ein laufendes Konto bei der Bank unterhält und, wenn ja, ob es „gut“ oder „mittel“ geführt wird.

88 Merkmal X: Kreditwürdigkeit
Merkmal Y: Konto Wertungen kein Konto gut geführt mittel gut geführt

89 Chi-Quadrat-Test auf Homogenität zum Niveau = 0.05 Nullhypothese:
Verteilung auf die Kategorien des Merkmals „Konto“ ist für unproblematische Kreditnehmer und für Problemkunden gleich

90 Aufgabe 10

91 Aufgabe 11

92 Aufgabe 12

93 Übersicht Chi-Quadrat-Tests

94 Test auf Unabhängigkeit
Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

95 Kolmogorov-Smirnov-Test
wird eingesetzt, wenn getestet werden soll, ob eine bestimmte stetige Verteilung vorliegt.

96 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I
Berechnung Hypothese Abstände berechnen )

97 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II
Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

98 Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III
Ablehnungsbereich Niveau 0.05

99 Durchmesser von Schrauben

100 Durchmesser von Schrauben
Arbeitstabelle

101 Durchmesser von Schrauben
 und  nicht spezifiziert Arbeitstabelle

102 Einfache Varianzanalyse
wird eingesetzt, wenn mehr als 2 unabhängige normalverteilte Stichproben verglichen werden sollen, deren Varianz als übereinstimmend angenommen werden kann.

103 Datenliste

104 Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben
(in kg)

105 Mittelwerte der Klassen
und Gesamtmittelwert

106 Mittelwert Betrieb 1 Mitttelwert Betrieb 2 Gesamt- Mittelwert Mittelwert Betrieb 3

107 F-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade m, n

108 Wahrscheinlichkeitsdichte
Die F-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte  : Gamma-Funktion

109 Durchführung der einfachen Varianzanalyse I
N: Gesamtumfang der Stichproben; r: Zahl der Betriebe Benötigte Daten: Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert Berechnung von Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 1 2

110 Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

111 Durchführung der einfachen Varianzanalyse III
Berechnung von Bestimmung von  Ablehnungsbereich

112 Viel Erfolg bei der Klausur!!!