Die Student- oder t-Verteilung

Präsentation zum Thema: "Die Student- oder t-Verteilung"—  Präsentation transkript:

1 Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!

2 Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

3

4 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

5 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

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7 Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

8 Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

9 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

10 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

11 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

12 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

13 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

14 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

15 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

16 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5
Stichprobenfunktionen

17 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

18 4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall

19 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

20 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

21 TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

22 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

23 Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau
behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage „Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

24 Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht
kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

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26 Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

27 Mathematischer Rahmen I
TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

28 Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch:
TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

29 Mathematischer Rahmen III
TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

30 Fehler erster und zweiter Art

31 Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

32 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit,
einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

33 2 Würfel Fairer Würfel ? 1/6 Gezinkter Würfel ? 1/5

34 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

35 Neyman-Pearson-Test Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau :
Für einen Test  mit gilt immer:

36 Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman-
Pearson-Tests ist, besitzt höchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

37 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n (n  100)

38 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

39 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

40 Konfidenzintervalle - Tests
Zusammenhang Konfidenzintervalle - Tests Gegeben sei ein Konfidenzintervall C() vom Niveau  Für eine einfache Hypothese ist dann mit dem Ablehnungsbereich ein Test vom Niveau  gegeben, denn:

41 Konfidenzintervalle Intervallschätzung
Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

42 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

43 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5
Stichprobenfunktionen

44 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

45 4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall

46 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

47 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

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49 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz bekannt

50 Test für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt