Konfidenzintervalle Intervallschätzung

Präsentation zum Thema: "Konfidenzintervalle Intervallschätzung"—  Präsentation transkript:

1 Konfidenzintervalle Intervallschätzung
Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

2 Die Ungleichung von Tschebyschev

3 Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt.
(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

4 Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von 
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

5 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

6 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

7 In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

8 für die Normalvertreilung
Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

9 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

10 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

11 Der Zentrale Grenzwertsatz

12 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau 

13 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n n  100

14 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!

15 Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

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17 Die Student- oder t-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

18 Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

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20 Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

21 Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

22 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

23 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

24 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

25 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

26 Konfidenzintervall für die Varianz
Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

27 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

28 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

29 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5
Stichprobenfunktionen

30 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

31

32 Fehler: 0,831

33 Fehler: 0,831

34 Fehler: 0,831

35 Fehler: 0,831

36 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

37 4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall

38 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

39 für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

40 TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

41 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

42 Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau
behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage „Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

43 Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht
kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

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45 Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

46 Mathematischer Rahmen I
TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

47 Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch:
TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

48 Mathematischer Rahmen III
TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

49 Fehler erster und zweiter Art

50 Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

51 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit,
einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

52 2 Würfel Fairer Würfel ? 1/6 Gezinkter Würfel ? 1/5

53 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung