Urnenmodelle. Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

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1 Urnenmodelle

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3 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

4 Wahrscheinlichkeitsräume

5 Die Poisson-Verteilung

6 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

7 Die Binomialverteilung

8 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

9 Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

10 Die hypergeometrische Verteilung Notation

11 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

12 Wahrscheinlichkeitsräume

13 A. N. Kolmogorov 1903 - 1987 Kolmogorov wurde (mehr zufällig, seine Mutter war auf der Durchreise) in Tambov, Russland, geboren. Nach der Schule arbeitete er zunächst als Eisenbahnschaffner. Nebenbei schrieb er eine Abhandlung über die Newtonsche Mechanik. Bald ging er aber an die Moskauer Universität, und seine Entwicklung zu einem der bedeutendsten Mathematiker des vergangenen Jahrhunderts begann. Eine seiner großen Leistungen auf dem Gebiet der Stochastik besteht in der Schaffung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie in seiner Arbeit Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (in deutsch!) aus dem Jahre 1933.

14 Wahrscheinlichkeitsdichten

15 Die Exponential-Verteilung

16 Die Gauß- oder Normalverteilung

17 Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein

18 Die Cauchy-Verteilung

19 Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

20 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

21 Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

22 Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

23 Für große m nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingtenWahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man: