M-L-Schätzer Erwartungswert

Präsentation zum Thema: "M-L-Schätzer Erwartungswert"—  Präsentation transkript:

1 M-L-Schätzer Erwartungswert
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

2 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

3 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

4 Übersicht

5 Beispiel Gewicht von Äpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

6 Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

7 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

8 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

9 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

10 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

11 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

12 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer
für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

13 Übersicht nicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu

14 Konfidenzintervalle Intervallschätzung
Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

15 Die Ungleichung von Tschebyschev

16 Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt.
(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

17 Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von 
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

18 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

19 Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

20 In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

21 für die Normalvertreilung
Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

22 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

23 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

24 Der Zentrale Grenzwertsatz

25 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau 

26 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n (n  100)