Klausurtermin (laut Prüfungsamt) Probeklausur Freitag, 13. Juni 2003 statt Vorlesung.

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1 Klausurtermin (laut Prüfungsamt) Probeklausur Freitag, 13. Juni 2003 statt Vorlesung

2 TESTS

3 Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahr- scheinlichkeit Formulierung einer Hypothese Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die Irrtumswahr- scheinlichkeit sollte klein sein.

4 Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese) Niveau Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall Theta

5 Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grund- gesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

6 Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

7 Fehler erster und zweiter Art Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothese wahr Hypothese falsch Entschei-dung Realität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

8 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahr- Fehler scheinlichkeit, einen Fehler 1. Art 1. Art zu begehen Niveau 1- Wahrscheinlichkeit, Fehler 2. Art einenFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameter- wert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alter- native

9 2 Würfel Fairer Würfel Gezinkter Würfel 1/6 1/5 ? ?

10 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

11 Neyman-Pearson-Test Für einen Test mit gilt immer: Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau :

12 Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman- Pearson-Tests ist, besitzt höchstens die Macht höchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

13 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

14 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

15 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

16 Zusammenhang Konfidenzintervalle - Tests Konfidenzintervall Gegeben sei ein Konfidenzintervall C( ) vom Niveau Ablehnungsbereich ist dann mit dem Ablehnungsbereich Für eine einfache Hypothese Test ein Test vom Niveau gegeben, denn:

17 Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

18 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

19 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen

20 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall 4.Fall 5.Fall 6.Fall 18.28

21 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

22 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall

23 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

24 Student-Verteilung

25 Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

26 Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

27 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben I Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

28 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben II Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich bestimmt durch