Statistische Methoden I WS 2001/2002 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Wahrscheinlichkeitstheorie

Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

Wahrscheinlichkeitsräume

Achtung Aufgabe!

Achtung noch eine Aufgabe!

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitsdichten

Unabhängigkeit 1 1 1 1 Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 1 1 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : „Oben steht eine 0“ B: „In der Mitte steht eine 0“ C: „Unten steht eine 0“

Man hat zwar: Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.

Allgemein definiert man:

Achtung Aufgabe!

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir: Allgemein definiert man:

Achtung Aufgabe!

Pfadregel Dann hat man:

Baumdiagramm

Urne mit roten und grünen Kugeln Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er- neut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.

Baumdiagramm START 3/4 1/4 1 4/5 1/5 3/5 2/5 1 1

Achtung Aufgabe!

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: „Der Gast ist ein Deutscher“ I: „Der Gast ist ein Italiener“ A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“ S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Nach der Formel für die totale Wahr- scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Verteilungsfunktion Beispiel „Würfel“

Beispiel „n-facher Münzwurf“ Verteilungsfunktion Beispiel „n-facher Münzwurf“

Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

Wahrscheinlichkeitsfunktion diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X stetig f nennt man Dichtefunktion von X

Verteilungsfunktion diskret stetig diskret stetig

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

Erwartungswert und Varianz II Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Erwartungswert und Varianz III Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Achtung Aufgabe!

Achtung noch eine Aufgabe!

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

Die Binomialverteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeits- verteilung, weil gilt: Notation

Erwartungswert Varianz

Die Poisson-Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeits- verteilung, weil gilt: Notation

Erwartungswert Varianz

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalb eines Tages geborenen Kinder

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)! Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Erwartungswert Varianz

Die geometrische Verteilung

Erwartungswert Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

Achtung Aufgabe!

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Achtung noch eine Aufgabe!

... und endlich eine Liste ...