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Veröffentlicht von:Adelric Blume Geändert vor über 10 Jahren
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Statistische Methoden I WS 2002/2003 Probeklausur Freitag, 13. Dezember 2002 - statt Vorlesung - Nächsten Freitag!!!
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Die hypergeometrische Verteilung Notation
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Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
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Wahrscheinlichkeitsdichten
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Die Exponential-Verteilung
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Die Gauß- oder Normalverteilung
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Die Cauchy-Verteilung
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Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
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Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine 0 1 0 1 0 1
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Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:
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Allgemein definiert man:
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
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Also haben wir: Allgemein definiert man:
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Pfadregel Dann hat man:
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Baumdiagramm
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Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er- neut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln
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START 01 00 11 3/4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm
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Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen
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Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5
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Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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FröhlicheWeihnachten wünscht Shirley
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Satz von Bayes
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In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
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Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti
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Nach der Formel für die totale Wahr- scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
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Satz von Bayes
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Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln. Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A1, A2 oder A3 vorliegt: A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind unbekannt. Wir setzen: P(A1) = p1 P(A2) = p2 P(A3) = p3
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Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:
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Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :
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Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für A3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p1, p2 und p3 hat man:
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