Zeit: 14:15 Ort: Hörsaal Loefflerstraße Heute wird die Vorlesung vom vergangenen Freitag nachgeholt! im Anschluss an die heutige reguläre Vorlesung.

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1 Zeit: 14:15 Ort: Hörsaal Loefflerstraße Heute wird die Vorlesung vom vergangenen Freitag nachgeholt! im Anschluss an die heutige reguläre Vorlesung

2 Die hypergeometrische Verteilung Notation

3 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

4 Wahrscheinlichkeitsräume

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6 A. N. Kolmogorov 1903 - 1987 Kolmogorov wurde (mehr zufällig, seine Mutter war auf der Durchreise) in Tambov, Russland, geboren. Nach der Schule arbeitete er zunächst als Eisenbahnschaffner. Nebenbei schrieb er eine Abhandlung über die Newtonsche Mechanik. Bald ging er aber an die Moskauer Universität, und seine Entwicklung zu einem der bedeutendsten Mathematiker des vergangenen Jahrhunderts begann. Eine seiner großen Leistungen auf dem Gebiet der Stochastik besteht in der Schaffung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie in seiner Arbeit Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (in deutsch!) aus dem Jahre 1933.

7 Wahrscheinlichkeitsdichten

8

9 Die Exponential-Verteilung

10 Die Gauß- oder Normalverteilung

11 Gauß-Bildnis und –Kurve auf 10 DM-Schein

12 Die Cauchy-Verteilung

13 Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

14 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

15 Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine 0 1 0 1 0 1

16 Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

17 Allgemein definiert man:

18 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

19 Also haben wir: Allgemein definiert man:

20 Also haben wir: Allgemein definiert man:

21 Pfadregel

22 Dann hat man:

23 1.1.2 1.2.22.1.12.1.22.1.3 3.2.13.2.2 3.3.1 1.2.13.3.2 1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3 1 2 3 START p(1) p(2) p(3) p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm 1.1.11.2.3 3.1.1

24 Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

25 START 0 1 0011 3/4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

26 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

27 Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an- schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen EURO 30 000,- an

28 Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

29 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

30 Satz von Bayes

31 In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

32 Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

33 Satz von Bayes

34 Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

35 Satz von Bayes

36 Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3

37 Wir ziehen aus der Urne n Kugeln mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

38 Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

39 Für große n nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingtenWahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:

40 Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den Dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der Drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid. Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den Beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird. Man berechne die Überlebenswahrscheinlichkeit für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat. Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p dieAntwort B gibt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort C. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß.

41 Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

42 Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

43 Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf