Statistische Methoden I SS 2005 Vorlesung: Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort: Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 2: Andreas Matz Di 8.00 - 10.00 Gruppe 1: Andreas Matz Di 10.00 - 12.00 Gruppe 6: Regina Reiner Di 12.00 - 14.00 Gruppe 5: Ronny Feuer Mi 8.00 - 10.00 Gruppe 4: Ronny Feuer Mi 10.00 - 12.00 Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 - 14.00 Ort: Diagnostikzentrum Sauerbruchstraße Raum 301
Diagnostikzentrum Sauerbruchstraße Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 - 14.00 Diagnostikzentrum Sauerbruchstraße Raum 301 Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 - 14.00 Seminarraum 4 Mehringstraße
29.Juli 2005 Die Klausur findet am 8.00 bis 12.00 Uhr - laut Prüfungsausschuss BWL - am 29.Juli 2005 8.00 bis 12.00 Uhr Hörsaal Makarenkostraße
Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
Die Ungleichung von Tschebyschev
Niveau Das Niveau wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter
Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y hat man
Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei
In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und
Die Gauß- oder Normalverteilung
Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein
Dichte Verteilung Verteilungsfunktion
Erwartungswert Varianz
für die Normalvertreilung Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428
Der Zentrale Grenzwertsatz
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)
Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:
Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion
Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:
Mathematische Bedeutung der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:
Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert
Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz
3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen
für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall
4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall
Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!