521.202 / SES.125 Parameterschätzung Hypothesentests Torsten Mayer-Gürr

Verteilungen

Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz: 13.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) 13.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Wahrscheinlichkeit 13.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Inverse Verteilungsfunktion Gegeben Wahrscheinlichkeit P(X < x) = α, gesucht Grenze x in MATLAB: norminv(alpha, mu, sigma) 13.01.2016

Konfindenzintervalle 13.01.2016

Normalverteilung Die Größe T ist standardisiert normalverteilt: : geschätzter/gemessener Wert : Erwartungswert : bekannte Standardabw. Konfidenzintervall für die Größe T: 2,5% 95% α=5% Konfidenzintervall für den Erwartungswert 13.01.2016

Transformation von Verteilungen

Transformation von Verteilungen Zufallsvariable mit der Dichte Verteilungsfunktion Substitution Zufallsvariable mit der Dichte mit 13.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung 13.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen: Die Quadratsumme ist Chi-Quadrat verteilt Dichte Wikipedia Gamma-Funktion in MATLAB: chi2pdf(x, n) chi2cdf(x, n) chi2inv(alpha, n) 13.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Geschätzter Varianzfaktor: Erwartungswert: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Varianzfaktor 13.01.2016

Einseitig / Zweiseitig x 2,5% 95% 2,5% x x 5% 95% 13.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: (zweiseitig) Konfidenzintervall für die Größe T: (einseitig) x 2,5% 95% x 5% 95% 13.01.2016

Student- oder t-Verteilung 13.01.2016

Student- oder t-Verteilung Gegeben sind die Zufallsvariablen: Der Quotient ist t-verteilt und in MATLAB: tpdf(x, n) tcdf(x, n) tinv(alpha, n) Dichte Gamma-Funktion Pail 13.01.2016

Student- oder t-verteilung Die Größe T ist t verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Erwartungswert 13.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung 13.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung Gegeben sind die Zufallsvariablen: und Der Quotient ist F-verteilt Wikipedia Dichte in MATLAB: fpdf(x, m, n) fcdf(x, m, n) finv(alpha, m, n) 13.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung Die Größe T ist F verteilt: Geschätzte Parameter: Geschätzte Residuen: Geschätzter Varianzfaktor: Geschätzte Kovarianzmatrix: Konfidenzellipse/Ellipsoid/Hyperellipse für die Größe T: Anzahl der verwendeten Parameter: 13.01.2016

Hypothesentests

Änderung des mittleren Meeresspiegels 13.01.2016

Hypothesentest Allgemeines Schema: 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c) 13.01.2016

Hypothesentest Allgemeines Schema: 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2,5% 95% α=5% 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c) 13.01.2016

Hypothesentest (Normalverteilung) Entspricht ein gemessener/geschätzter Wert einem vorgegebenen Wert , bei bekannter Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. a) b) c) 13.01.2016

Hypothesentest (t-Test) Entspricht ein gemessener/geschätzter Wert einem vorgegebenen Wert , bei geschätzter Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c) 13.01.2016

Hypothesentest (F-Test) Entspricht ein geschätzter Vektor der Größe einem vorgegebenen Vektor , bei geschätzter Kovarianzmatrix (aus Gauß-Markoff Modell mit der Redundanz n-m)? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. 13.01.2016

Hypothesentest (Chi-Qudrat-Test) Entspricht eine geschätzte Standardabweichung einer vorgegebenen Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) 13.01.2016

Hypothesentest (F-Test) Entspricht eine geschätzte Standardabweichung einer anderen geschätzten Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) b) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. c) 13.01.2016