Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate

Präsentation zum Thema: "Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate"—  Präsentation transkript:

1 Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate
/ SES.125 Parameterschätzung Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate Torsten Mayer-Gürr

2 Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter
Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen): 100,006 m 100,005 m 99,995 m 100,008 m 99,993 m 0,000 m 99,996 m 99,998 m 99,992 m 100,000 m 100,004 m 99,991 m 99,997 m 100,002 m … Grober Fehler

3 Messfehler Grobe Fehler: Falschen Punkt angemessen
Rechenfehler / Programmierfehler … Systematische Fehler: Kalibrierung des Instruments fehlerhaft (Maßstabsfaktor im Instrument) Nicht beachtete physikalische Effekte (Laufzeitverzögerung in der Atmosphäre, Erdkrümmung, …) (Mitteln sich nicht heraus) Zufällige Fehler: Elektronisches Rauschen Turbulenzen in der Atmosphäre Nicht vorhersagbar => In dieser Vorlesung behandelt

4 Beispiel Histogramm von 10000 Beobachtungen Anzahl
Gemessene Strecke (reduziert um 100 m) [mm]

5 Beispiel Schätzung der wahren Strecke aus den verrauschten Beobachtungen: Histogramm Mittelwert: Beobachtungen Schätzung des wahren Werts Anzahl der Beobachtungen Schätzung der Genauigkeit einer einzelnen Beobachtungen: Angabe der Standardabweichung: l3 = 99,997 m ± 0,005 m Varianz: ca. 68,3% der Beobachtungen liegen in ca. 95,5% der Beobachtungen liegen in ca. 99,7% der Beobachtungen liegen in Redundanz/ Freiheitsgrade: Ein Messwert wurde zur Berechnung des Mittelwerts benötigt Standardabweichung:

6 Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter
Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen) Beobachtungen (Messwerte) Wahrer Wert Residuen (Messrauschen)

7 Ausgleichende Gerade

8 Änderung des mittleren Meeresspiegels
Wie bestimmt man eine Gerade, so dass sie am besten zu den gemessenen Werten passt?

9 Ausgleichende Gerade Gemessen: zum Zeitpunkt zum Zeitpunkt Höhe [mm]
n=731 Messungen Beobachtungsgleichungen: Zeit [Tage] Residuen (Messrauschen) Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die Gerade (die Parameter a und b) so, dass der quadratische Abstand der Beobachtungen von der Geraden (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird. Beobachtungen Modell: Geradengleichung m=2 unbekannte Parameter: a, b

10 Tafel: ausgleichende Gerade

11 Absolutschweremessungen

12 Schweremessungen Absolutgravimeter

13 Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Gemessen: zum Zeitpunkt
Gesucht: Physikalisches Modell: m=3 unbekannte Parameter n=11 Messungen

14 Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall
Beobachtungsgleichungen: Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die unbekannten Parameter (g, v0 und h0) so, dass der quadratische Abstand (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird.

15 Schweremessungen Beobachtungsgleichungen:
Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die unbekannten Parameter (g, v0 und h0) so, dass der quadratische Abstand (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird. Notwendige Bedingungen für ein Minimum von => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

16 Schweremessungen Beobachtungsgleichungen:
Zusammenfassung der Beobachtungen, Parameter und Residuen in Vektoren Beobachtungsgleichungen in Matrix-Schreibweise

17 Ausgleich eines Höhennetzes

18 Ausgleich eines Höhennetzes

19 Ausgleich eines Höhennetzes
Beobachtet: Nivellierte Höhenunterschiede Gesucht: Höhen der Festpunkte

20 Ausgleich eines Höhennetzes
Beobachtungsgleichungen

21 Lineare Gleichungssysteme

22 Matrix Lineares Gleichungssystem: In Matrix Schreibweise:

23 Matrix Lineares Gleichungssystem: In Matrix Schreibweise:

24 Multiplikation

25 Matrixmultiplikation
Rechenregeln: und Im allgemeinen

26 Transponiert

27 Die Transponierte einer Matrix
Definition: Vertauscht man in einer (n x m) Matrix A die Zeilen und Spalten, so entsteht die transponierte (m x n) Matrix AT. Rechenregeln:

28 Inverse

29 Inverse Matrix Definition: Existiert eine quadratische (n x n) Matrix B, so dass AB=I und BA=I gilt, so ist B die inverse Matrix von A. Die A heißt dann regulär, im anderen Fall singulär. Satz: Die Inverse einer regulären Matrix ist eindeutig bestimmt und wird mit A-1 bezeichnet. Rechenregeln:

30 Funktionen und Vektoren

31 Funktionen und Vektoren
Beispiel: Länge eines Vektors: Die Länge ist eine Funktion von x, y, z Beispiel: Länge eines Vektors: mit Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen

32 Funktionen und Vektoren
Beispiel: Polarkoordinaten aus kartesisischen Koordinaten Linearisierung: Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen

33 Tafel: Ableitung von Funktionen