Fundamentalräume einer Matrix

Präsentation zum Thema: "Fundamentalräume einer Matrix"—  Präsentation transkript:

1 Fundamentalräume einer Matrix
/ SES.125 Parameterschätzung Fundamentalräume einer Matrix Torsten Mayer-Gürr

2 Freie Stationierung Beobachtungen: Gemessene Strecken
Gesucht: Koordinaten des Standpunkts Wie lauten die Beobachtungsgleichungen?

3 Tafel: Nicht-lineare Beobachtungsgleichungen

4 Nicht-lineares Gauß-Markoff Modell
1. Nicht lineare Beobachtungsgleichungen 5. Lösung: 2. Näherungswerte 6. Probe für die Güte der Linearisierung: 3. Taylorentwicklung sonst weiter bei 2. 7. Schätzung der Gewichtseinheitsvarianz: mit 4. Linearisiertes Gauß-Markoff Modell 8. Kovarianzmatrix der Parameter:

5 Tafel: Gewichtete Beobachtungen

6 Änderung des mittleren Meeresspiegels

7 Tafel: Richtungsmessungen

8 Matrixraum

9 Matrix und Vektoren In Matrix Schreibweise:
Als Vektor Linearkombination:

10 Matrix und Vektoren Definition: Eine Menge von Vektoren bezeichnet man als linear unabhängig, wenn für die Gleichung nur eine eindeutige Lösung existiert: Die einzelnen Vektoren lassen sich nicht als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen Definition: m linear unabhängige Vektoren spannen den Unterraum Vm auf. Diese Vektoren bilden eine Basis des Vektorraums Vm (Beispiel: Zwei Vektoren im R3 spannen eine Ebene auf.)

11 Approximation

12 Approximation Linearkombination von Basisvektoren
Approximation eines Vektors Bedingung: Differenzvektor muss senkrecht (normal) auf allen Basisvektoren stehen für

13 Approximation Bedingung: Differenzvektor muss senkrecht (normal) auf allen Basisvektoren stehen für Nornalgleichungssystem: m Gleichungen mit m Unbekannten

14 Approximation Nornalgleichungssystem: m Gleichungen mit m Unbekannten
Normalgleichungssystem

15 Approximation Die Spaltenvektoren von
spannen den Spaltenraum von A auf Der geschätzte Residuenvektor steht senkrecht auf allen Spaltenvektoren Der Beobachtungsvektor l wird in den Spaltenraum von A projiziert Mit der orthogonalen Projektionsmatrix Die Projektion des Beobachtungsvektors l in den Komplementärraum von A ergibt den geschätzten Residuenvektor Projektionsmatrix in den orthogonalen Komplementärraum: