Varianzfortpflanzung

Präsentation zum Thema: "Varianzfortpflanzung"—  Präsentation transkript:

1 Varianzfortpflanzung
/ SES.125 Parameterschätzung Varianzfortpflanzung Torsten Mayer-Gürr

2 Zufallsvektor

3 Varianz / Kovarianz Zufallsvektor Erwartungswert
Varianz-Kovarianzmatrix Mit der Dichte und Varianz Kovarianz Kovarianz Operator

4 n x m konstante Koeffizientenmatrix
Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor n x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix

5 Kovarianzfortpflanzung

6 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Lineare Transformation? Kovarianzmatrix

7 Polares Anhängen 1. Gemessen: 2. Kovarianzmatrix: 3. Berechnet:
4. Jakobimatrix 5. Kovarianzmatrix 5. Kovarianzmatrix Ergebnis

8 Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter
Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen): 100,006 m 100,005 m 99,995 m 100,008 m 99,993 m 0,000 m 99,996 m 99,998 m 99,992 m 100,000 m 100,004 m 99,991 m 99,997 m 100,002 m …

9 Beispiel Histogramm von 10000 Beobachtungen Anzahl
Gemessene Strecke (reduziert um 100 m) [mm]

10 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Mittelwert mit Bei gleicher Varianz

11 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen mit Varianz der Differenz

12 Varianzfortplanzung im Gauß-Markoff Modell (Tafel)

13 Drehung des Koordinatensystems

14 Polares Anhängen Polares Anhängen

15 Drehmatrizen Drehmatrix Inverse Drehung Allgemein: Orthogonale Matrix
(Rotation mit evtl. Spiegelung)

16 Polares Anhängen Polares Anhängen Drehung um Winkel t Kovarianzmatrix
mit

17 Polares Anhängen Drehung um Winkel t Nebenrechnung mit Kovarianzmatrix

18 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Durch Drehung des Koordinatensystems kann man unkorrelierte Zufallsvariablen erhalten! Kovarianzmatrix

19 Fehlerellipse

20 Beispiel: Strecke zwischen Koordinaten

21 Multivariate Normalverteilung

22 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail Satz: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt

23 Zweidimensionale Normalverteilung
Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) für Zweidimensionale Zufallsvariable mit unabhängigen Elementen

24 Zweidimensionale Normalverteilung
Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind:

25 Zweidimensionale Normalverteilung
Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind: Durch Drehung des Koordinatensystems lässt sich jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt bringen (Eigenwertzerlegung) Produkt der Eigenwerte