Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle

Präsentation zum Thema: "Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle"—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Messmodelle / Testmodelle: Bsp.1: Randomisierte Response-Technik:

2 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Messmodelle / Testmodelle: Bsp.2: Ratekorrektur bei multiple-choice Tests:

3 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Wichtige Konzepte: Variable / Parameter / Konstante Populationsparameter vs. (Stichproben-) Kennwert (=Statistik) Notationskonvention: Parameter: , , , ,  Stichprobenkennwerte: Schätzer: Schätzer sind auch Stichprobenkennwerte

4 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiele für Stichprobenkennwerte: Mittelwert: Streuung: Korrelationskoeffizient:

5 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Stichprobenkennwerte als Schätzer der Populationsparameter: Gütekriterien für Schätzer: z.B. «erwartungstreuer Schätzer» Bsp.: Stichprobenmittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittelwerts (Beweis!)

6 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Modelle sind Gleichungssysteme, in Symbolen: Die i (theta) sind hierbei Parameter einer Verteilung und die i (xsi) sind die Modellparameter. Die fi sind nicht näher spezifizierte Funktionen.

7 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Prinzip der statistischen Modellierung: Es werden Parameter einer Verteilung modelliert, nicht die Beobachtungen direkt. Die Verteilung beschreibt die Population (genauer: Die Verteilung der Werte in der Population)

8 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Fragen: Warum werden mit Hilfe eines Messmodells nicht die Messungen direkt modelliert? Welchen Sinn macht es, die Parameter der Verteil­ungen mittels Modellen, die selbst wieder Parame­ter besitzen zu modellieren? Warum darf die Anzahl der Parameter m im Modell nicht grösser sein als die Anzahl p der Verteilungs­parameter?

9 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Antworten: Die Beobachtungen (Messungen) sind zufällig. Es kann nur die Verteilung der Messungen in der Population modelliert werden. Daher benötigt man eine Verteilung. Das Ziel der Modellierung besteht in der Ver-einfachung der Ausgangsverteilung, die sehr komplex sein kann. Um eine Vereinfachung zu erzielen, muss die Zahl der Modellparameter geringer sein als jene der Ausgangsverteilung.

10 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Regressionsmodell: Beobachtungen: Paare von Beobachtungen: Modellgleichungen:

11 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Regressionsmodell: Schätzung der Parameter mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate: Suche jene Werte der Parameter  und , sodass, die Summe der quadrierten Residuen minimal wird:

12 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Regressionsmodell: Problem des Ansatzes: Hierbei handelt es sich nicht um eine statistische Modellierung, sondern um ein ad-hoc Verfahren. Statistische Modellierung: Verteilung der Beobachtungen:  [unabhängig] zugehörige Dichtefunktion:

13 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Regressionsmodell: Statistische Modellierung: Verteilung der Beobachtungen zusam-men genommen (Produkt der Dichten): Modellierung:

14 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Regressionsmodell: Statistische Modellierung: Das Ergebnis ist eine neue Verbundverteil-ung der Beobachtungen mit nur 3 freien Parametern anstelle von N+1:

15 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Ratekorrektur: Wie sieht die Verteilung, deren Parameter modelliert werden, aus? Antwort: Es handelt sich um eine Binom-ialverteilung. Diese spezifiziert die Wahr-scheinlichkeit von x korrekten Antworten bei N vorgegebenen Fragen: Parameter  repräsentiert die Wahrschein- lichkeit einer korrekten Antwort auf eine Frage.

16 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Beispiel: Ratekorrektur: Binomialverteilung: Modellierung: Neue Verteilung (keine Vereinfachung):

17 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Statistische Modellierung: Ausgangsverteilung der Messungen: Vereinfachte Verteilung der Messungen: Modell:

18 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Verteilungen, deren Parameter mit Hilfe von Testmodellen modelliert werden: Multivariate (p-variate) Normalverteilung: (Produkt-) Multinomialverteilung: Die griechischen Buchstaben repräsentieren Parametervektoren bzw. Matrizen von Parametern.

19 Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle
Multivariate (p-variate) Normalverteil-ung : Vektor der Mittelwerte (Mittelwertsstruktur) und Kovarianzmatrix (Kovarianzstruktur). p Mittelwerte und p·(p+1)/2 (Ko-) Varianzen