II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

Insekteneier Annahmen N : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legt M : Anzahl der Eier, die sich entwickeln N - M : Anzahl der Eier, die unentwickelt bleiben Annahmen Die Wahrscheinlichkeit, dass das Insekt genau n Eier legt, beträgt d. h. Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit p Die Eier beeinflussen sich nicht in ihrer Entwicklung

Dann gilt: 1 2 3

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalb eines Tages geborenen Kinder

Bäckerei Brösel Annahmen X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt: d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von  Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Wahrscheinlich- keitstheorie Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial 1. Semester Wahrscheinlich- keitstheorie 1. Semester Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 2. Semester

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)! Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

Schätzproblem Schätzer

(mögliche Beobachtungen) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell Θ

(mögliche Beobachtungen) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell g Θ E

Berliner Taxifahrer Ein Berliner Taxifahrer notierte imJanuar 1987 während 5 Schichten mit je 20 Fahrten, welchen Prozentsatz des Fahrpreises lt. Taxameterdie Fahrgäste als Trinkgeld gaben.

Stichprobe (diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Stichprobenfunktionen

Stichprobenfunktionen Beispiel „Taxifahrer“

Sonntagseinsätze Feuerwache

Mittlerer quadratischer Fehler Gegeben sind: Schätzproblem Statistische Struktur Schätzer Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe

Angepasste Poisson-Verteilungen „Feuerwache“ Angepasste Poisson-Verteilungen