Statistische Methoden II SS 2007 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 3: Marcus Vollmer Di Gruppe 1: Melanie Hinz Di Gruppe 6: Melanie Hinz Di Gruppe 4: Hermann Haase Mi Gruppe 5: Hermann Haase Mi Gruppe 2: Rüdiger Zeller Mi Ort: SR 222 Fleischmannstraße 6, 2. OG

Statistische Struktur diskret stetig

Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

Der Parameter beste Erklärung ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See: ist M-L-Schätzer !

Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

Likelihood-Funktion

Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli-verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

Der Parameter beste Erklärung ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnis und –Kurve auf 10 DM-Schein

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y hat man

Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

Übersicht

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu