Achtung Vorlesung am nächsten Montag (21. Juni) Zeit: Uhr Ort: Kiste

TESTS

Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahrscheinlichkeit Formulierung einer HypotheseNullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die Irrtumswahrscheinlichkeit sollte wenigstens klein sein.

Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese)Nullhypothese Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall Niveau

Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Hypotheseakzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothesewahr Hypothese falschEntscheidungRealität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. Art einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, keinenFehler 2. Art keinen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alternative

Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

Chi-Quadrat-Tests

Satz von Karl Pearson I X: Stichprobenvariable, die r > 2 verschieden Werte annehmen kann: Die Verteilung von X ist durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben. Stichprobe vom Umfang n:

Satz von Karl Pearson II Dann hat man: Dabei ist:

Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Hypothese Ablehnungsbereich

Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III Lehrmeinung Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) Typ Prozentsatz IIIIII Anzahl IIIIII Typ

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Mendelsche Gesetze rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün Prozentsätze nach der Theorie

rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün Beobachtete Häufigkeiten Summe 480

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Test auf Normalverteilung Umsetzung in einen Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Beispiel Mieten

1 3534

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

1,2,3 4,5 6,7 8,9 Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5: Klasse 6: Wir fassen die Klassen 10,11 und 12, 13, 14 jeweils zu einer Klasse zusammen und erhalten so 6 Klassen:

Leichte Abschwächung der Faustregel für den Chi-Quadrat-Test auf Anpassung (vgl. Fahrmeier/Künstler/Pigeot/Tutz) für alle Indizes k für 80% der Indizes k

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit I

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit II Hypothese Ablehnungsbereich

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit III

Berufsstatus Vater - Sohn 38 X Y

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Konkurrierende Computer-Unternehmen

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Sonntagsfrage (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären? sind für den Be- fragungszeitraum in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

Das Untersuchungsziel ist festzustellen, ob die voneinander abweichenden Häufigkeiten für Männer und Frauen rein zufällige Schwankungen Darstellen oder ob zwischen Geschlecht und Partei- präferenz ein Zusammenhang besteht. Nullhypothese: Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht kein Zusammenhang

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit zum Niveau = 0.05

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität Hypothese Ablehnungsbereich

Mathe-Test Klasse 9 1. Versuch

Produktion zweier Betriebe

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Zusammenhang zwischen Geschlecht und Schulbildung

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Mathe-Test Klasse 9 2. Versuch

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

KREDITWÜRDIGKEIT Eine Bank steht vor dem Problem, einen potentiellen Kreditnehmer einzuschätzen und den Kredit zu vergeben, oder ihn der Klasse der Problemfälle zuzuordnen und auf das Kreditgeschäft zu verzichten bzw.eine genauere Prüfung vorzunehmen. Gesucht wird ein Prädikator für die Kreditwürdigkeit. Hierzu werden 1000 Konsumentenkredite betrachtet. Für jeden Kunden aus dieser Stichprobe ist seine Kredit- würdigkeit X bekannt. Als weiteres Merkmal Y wird notiert, ob der Kunde ein laufendes Konto bei der Bank unterhält und, wenn ja, ob es gut oder mittel geführt wird. (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz)

Kreditwürdigkeit Merkmal X: Kreditwürdigkeit Konto Merkmal Y: Konto Wertungen kein Konto gut geführt mittel gut geführt

Chi-Quadrat-Verteilung 0,831

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität zum Niveau = 0.05 Nullhypothese: Verteilung auf die Kategorien des Merkmals Konto ist für unproblematische Kreditnehmer und für Problemkunden gleich

Sonntagsfrage (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären? sind für den Be- fragungszeitraum in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

Chi-Quadrat-Tests Übersicht

Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität