Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnis und –Kurve auf 10 DM-Schein

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion

unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = Stichprobenfunktionen

Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

6.Fall Fall 4.Fall

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall

TESTS

Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahrscheinlichkeit Formulierung einer HypotheseNullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die Irrtumswahrscheinlichkeit sollte wenigstens klein sein.

Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese)Nullhypothese Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall Niveau

Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Hypotheseakzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothesewahr Hypothese falschEntscheidungRealität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. Art einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, Fehler 2. Art einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alternative

2 Würfel Fairer Würfel Gezinkter Würfel 1/6 1/5 ? ?

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung