/ SES.125 Parameterschätzung

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1 521.202 / SES.125 Parameterschätzung
Hypothesentests Torsten Mayer-Gürr

2 Verteilungen

3 Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz:

4 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma)

5 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Wahrscheinlichkeit

6 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Inverse Verteilungsfunktion Gegeben Wahrscheinlichkeit P(X < x) = α, gesucht Grenze x in MATLAB: norminv(alpha, mu, sigma)

7 Konfindenzintervalle

8 Normalverteilung Die Größe T ist standardisiert normalverteilt:
: geschätzter/gemessener Wert : Erwartungswert : bekannte Standardabw. Konfidenzintervall für die Größe T: 2,5% 95% α=5% Konfidenzintervall für den Erwartungswert

9 Transformation von Verteilungen

10 Transformation von Verteilungen
Zufallsvariable mit der Dichte Verteilungsfunktion Substitution Zufallsvariable mit der Dichte mit

11 Chi-Quadrat Verteilung

12 Chi-Quadrat Verteilung
Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen: Die Quadratsumme ist Chi-Quadrat verteilt Dichte Wikipedia Gamma-Funktion in MATLAB: chi2pdf(x, n) chi2cdf(x, n) chi2inv(alpha, n)

13 Chi-Quadrat Verteilung
Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Geschätzter Varianzfaktor: Erwartungswert: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Varianzfaktor

14 Einseitig / Zweiseitig
x 2,5% 95% 2,5% x x 5% 95%

15 Chi-Quadrat Verteilung
Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: (zweiseitig) Konfidenzintervall für die Größe T: (einseitig) x 2,5% 95% x 5% 95%

16 Student- oder t-Verteilung

17 Student- oder t-Verteilung
Gegeben sind die Zufallsvariablen: Der Quotient ist t-verteilt und in MATLAB: tpdf(x, n) tcdf(x, n) tinv(alpha, n) Dichte Gamma-Funktion Pail

18 Student- oder t-verteilung
Die Größe T ist t verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Erwartungswert

19 Fisher- oder F-Verteilung

20 Fisher- oder F-Verteilung
Gegeben sind die Zufallsvariablen: und Der Quotient ist F-verteilt Wikipedia Dichte in MATLAB: fpdf(x, m, n) fcdf(x, m, n) finv(alpha, m, n)

21 Fisher- oder F-Verteilung
Die Größe T ist F verteilt: Geschätzte Parameter: Geschätzte Residuen: Geschätzter Varianzfaktor: Geschätzte Kovarianzmatrix: Konfidenzellipse/Ellipsoid/Hyperellipse für die Größe T: Anzahl der verwendeten Parameter:

22 Hypothesentests

23 Änderung des mittleren Meeresspiegels

24 Hypothesentest Allgemeines Schema: 1.) Aufstellen der Hypothese
Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c)

25 Hypothesentest Allgemeines Schema: 1.) Aufstellen der Hypothese
Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2,5% 95% α=5% 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c)

26 Hypothesentest (Normalverteilung)
Entspricht ein gemessener/geschätzter Wert einem vorgegebenen Wert , bei bekannter Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. a) b) c)

27 Hypothesentest (t-Test)
Entspricht ein gemessener/geschätzter Wert einem vorgegebenen Wert , bei geschätzter Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b) c)

28 Hypothesentest (F-Test)
Entspricht ein geschätzter Vektor der Größe einem vorgegebenen Vektor , bei geschätzter Kovarianzmatrix (aus Gauß-Markoff Modell mit der Redundanz n-m)? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt.

29 Hypothesentest (Chi-Qudrat-Test)
Entspricht eine geschätzte Standardabweichung einer vorgegebenen Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. b)

30 Hypothesentest (F-Test)
Entspricht eine geschätzte Standardabweichung einer anderen geschätzten Standardabweichung ? 1.) Aufstellen der Hypothese Hypothese H0: gegen H1: (zweiseitig) Hypothese H0: gegen H1: (einseitig) 2.) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit: (Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: H0 ist wahr, wird aber abgelehnt) 3.) Testgröße T berechnen 4.) Konfidenzintervall, falls H0 wahr: a) b) => Die Hypothese wird abgelehnt, falls T außerhalb des Intervalls liegt. c)