Statistische Methoden II SS 2008 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Makarenkostraße (Kiste) Übungen Gruppe 2: Henrike Berg Di SR 222 Gruppe 1: Hermann Haase Di SR 222 Gruppe 5: Svenja Schützhold Di SR 222 Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14: :00 HS 11 Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16: :00 SR 5 Gruppe 4: Sabine Storandt Mi SR 222 Gruppe 3: Hermann Haase Mi SR 222 Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi SR 3 SR 222 : Fleischmannstraße 6 SR : Loefflerstraße 70 HS 11 : Domstraße 9a (Hist. Institut)
Die Vorlesung am 2. Mai wird verlegt! Die Vorlesung findet am Mittwoch, von 14 bis 16 Uhr im Hörsaal Makarenkostraße statt.
Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
Tschebyschev Die Ungleichung von Tschebyschev
Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man
Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei
In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und
Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen
Der Zentrale Grenzwertsatz
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau
Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)
Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion
Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:
unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert
Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz
Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = Stichprobenfunktionen
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
Fehler: 0,831
Fehler: 0,831
Fehler: 0,831
Fehler: 0,831
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall
6.Fall Fall 4.Fall
Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall