Binomialverteilung: Beispiel Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Hormonuntersuchung bei Kälbern Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 etc. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

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Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen : b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 Stetige Gleichverteilung a b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Stetige Gleichverteilung Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt für für Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 Normalverteilung: Definition Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 Normalverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 Normalverteilung Beschreibung: „Glockenkurve“ Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Anwendung der Normalverteilung Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

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Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Quantile der Normalverteilung: Beispiel Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit m=10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Beispiel: Fehler bei Messung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Chi-Quadrat Verteilung Beschreibung: Summe der Quadrate von n normalverteilten Zufallsgrößen Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für „independent and identically distributed“. Ist und , so gilt: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005 Grenzwertsätze Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels Gesetz der großen Zahlen: Ist m der Erwartungswert einer ZG X, so liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei m Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005