Stetige Zufallsgrößen

Präsentation zum Thema: "Stetige Zufallsgrößen"—  Präsentation transkript:

1 Stetige Zufallsgrößen
Darstellung durch Dichtefunktion f Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

2 Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen
: b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

3 Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen
Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

4 Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

5 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Normalverteilung: Definition Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Normalverteilung Beschreibung: „Glockenkurve“ Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

7 Anwendung der Normalverteilung
Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

8 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

9 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Schwankungsbereiche der Normalverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

10 Beispiel zur Normalverteilung
Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

11 Quantile der Normalverteilung: Beispiel
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit m=10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Beispiel: Fehler bei Messung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für „independent and identically distributed“. Ist und , so gilt: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

13 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Grenzwertsätze Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels Gesetz der großen Zahlen: Ist m der Erwartungswert einer ZG X, so liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei m Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

14 Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle
Poisson-Verteilung: Zählen seltener Ereignisse Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiele: Zahl der Fischvergiftungen pro Zeiteinheit Zahl der Spontantumoren pro Zeiteinheit historisch: Zahl der Todesfälle durch Hufschlag pro Jahr und Regiment Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

15 Beispiel für Possion-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

16 Lebensdauerverteilungen
Exponentialverteilung Beispiel: Lebensdauern Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

17 Zusammenfassung: Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsmodelle dienen dazu, bestimmte (unsichere) Phänomene zu charakterisieren. Das Wahrscheinlichkeitsmodell ist abhängig von der zu charakterisierenden Größe. In der Literatur gibt es eine Vielzahl solcher Verteilungen. Man unterscheidet diskrete und stetige Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsmodelle). Wichtige Kennzahlen von Verteilungen sind Erwartungswert und Varianz. Verteilungen haben meist Parameter, die durch das Problem gegeben sind, oder aus Daten geschätzt werden. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

18 Statistische Erhebungen
Bei der Erhebung von Daten unterscheidet man: Befragungen z.B. Befragung der Landwirte über das Verhalten der Tiere im Stall Experimente z.B. Versuch, welches Arzneimittel am besten zur Heilung führt Beobachtungen Auftreten einer Krankheit Erhebungen zu Tieren in einer Tierklinik Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

19 Unterscheidungseinheiten / statistische Einheit / Merkmalsträger
Individuen, die einer Erhebung zugrunde liegen Einzelne Tiere Einzelne Herden Einzelne Landwirte Haushalte Beispiele: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Merkmale (Variablen) Eigenschaften Untersuchungseinheiten z.B. Krankheitsstatus Blutparameter Geschlecht Anzahl der Kühe (bei Untersuchungseinheit Landwirt) Merkmalsausprägungen mögliche Werte des Merkmals Messergebnisse / positive Zahlen krank / gesund Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

21 Charakterisierung von Merkmalen
quantitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Größe Alter, Gewicht, Milchleistung, Temperatur, Anzahl Keime, Schadstoffgehalt, … qualitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Art Geschlecht, Namen, Rassen, Haltungsform Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

22 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Merkmalswerte Die gemessenen, erfragten oder beobachteten Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals sind die Merkmalswerte. Sie stellen die Daten der Erhebung dar. Wiederkauverhalten: z.B. in Stunden pro Tag Arzneimittel: Dosis 1, Dosis 2, Dosis 0 (Placebo) Befund: gesund, fraglich, erkrankt Keimzahlen: Anzahl in 1000 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

23 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Skalen Metrische Skala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge und die Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich interpretieren. Gewicht, Keimzahlen, Schadstoffmessung Ordinalskala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge, aber die Ab- stände zwischen den Werten der Skala lassen sich nicht interpretieren. Bewertung (Noten), Gesundheitszustand Nominalskala: Die Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht Vergleichbar Geschlecht, Rasse, Haltungsform Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

24 Deskriptive Statistik
Ziel: Beschreibung von Daten mit möglichst geringem Informationsverlust Eigenschaften und Strukturen sichtbar machen Graphisch und durch Kennwerte Eindimensional und mehrdimensional Zunächst keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

25 Rohdaten und Datenmatrix
Die Daten liegen in der Regel als Datenmatrix vor: Zeilen entsprechen Untersuchungseinheiten Spalten entsprechen Merkmalen Elemente der Matrix sind die Merkmalsausprägungen Fragen mit Mehrfachnennungen als Einzelne binäre Merkmale definieren Hinweise zur Eingabe unter: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

26 Beispiel: Daten zu Mastenten (Ausschnitt)
- Ändern - Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

27 Eindimensionale Statistische Kennwerte Lagemaßzahlen
Wo liegt die Masse der Daten? Wo liegt die Mehrzahl der Daten? Wo liegt die Mitte der Daten? Welche Mehrmalsausprägung ist typisch für die Häufigkeitsverteilung? Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

28 Statistische Kennwerte
Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten? Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen? Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

29 Eindimensionale Häufigkeitsverteilung
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

30 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Der Modus Definition: Häufigster Wert Eigenschaften: oft nicht eindeutig nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen Ausprägungen sinnvoll stabil bei allen eindeutigen Transformationen geeignet für alle Skalenniveaus Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

31 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Beispiel Modus Modus = 4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

32 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Der Median Definition: Wert für den gilt 50% der Daten sind kleiner oder gleich med 50% der Daten sind größer oder gleich med med = sind geordnete Werte Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

33 Eigenschaften des Median
anschaulich stabil gegenüber monotonen Transformationen geeignet für ordinale Daten stabil gegenüber Ausreißern Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

34 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Beispiel Median Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

35 Das Quantil (Perzentil)
Definition: Wert für den gilt Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

36 Fünf-Punkte Zusammenfassung
Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

37 Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)
bekanntestes Lagemaß instabil gegen extreme Werte geeignet für Intervallskalierte Daten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

38 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006
Beispiel Mittelwert Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin