Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen

Präsentation zum Thema: "Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen"—  Präsentation transkript:

1 Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen
Universität Potsdam Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Dozentin: Prof. Dr. Roelly Referentin: Madlen Weps

2 Gliederung Theorie zu stetigen Verteilungen Konkrete Beispiele
Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswert Varianz Konkrete Beispiele Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Zusammenfassung

3 Definition: Zufallsvariable
Es sei (Ω,𝒜,𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Abbildung 𝑋: Ω→ℝ mit der sogenannten Messbarkeitseigenschaft {𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)≤𝑥}∈𝒜 für jedes 𝑥∈ℝ.

4 Definition: Verteilungsfunktion
Ist X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlich-keitsraum (Ω,𝒜,𝑃), so heißt die durch 𝐹(𝑥)≔𝑃(𝑋≤𝑥), 𝑥∈ℝ definierte Funktion 𝐹:ℝ→(0,1) die Verteilungs-funktion von X.

5 Definition: Stetige Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable X heißt stetig (verteilt), wenn es eine nichtnegative integrierbare Funktion 𝑓:ℝ→ℝ mit der Eigenschaft gibt, so dass die Verteilungsfunktion 𝐹 von 𝑋 die folgende Darstellung besitzt: 𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)= 𝑓(t)𝑑𝑡, 𝑥∈ℝ. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡=1

6 Bemerkung Für reelle Zahlen a<b gilt: 𝑃(𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑃(𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)= 𝑓(x)𝑑𝑥 𝑃(𝑋>𝑎)=1−𝐹(𝑎)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

7 Definition: Erwartungswert
Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichte 𝑓. Falls 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existiert, heißt 𝜇≔𝐸(𝐹)≔ 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 der Erwartungswert der Verteilungsfunktion F mit Dichte f.

8 Definition: Varianz Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichtefunktion 𝑓. Die Zahl 𝜎²≔𝑉𝑎𝑟(𝐹)≔ (𝑡−𝐸(𝑋))²𝑓(𝑡)𝑑𝑡 heißt Varianz der Verteilungsfunktion mit Dichte f, falls 𝜇 existiert und das Integral existiert.

9 Die Zahl heißt Standardabweichung der Verteilungsfunktion F mit der Dichte f.

10 Die Gleichverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine stetige Gleich-verteilung auf dem Intervall (𝑎,𝑏), kurz 𝑋~𝒰(𝑎,𝑏), falls 𝑋 die Dichte besitzt.

11 Die Gleichverteilung Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

12 Satz: Die Gleichverteilung 𝒰(𝑎,𝑏) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝒰(𝑎,𝑏))=
und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝒰(𝑎,𝑏))=

13 Beispiel Die S-Bahnen einer bestimmten Linie fahren tagsüber alle 15 Minuten an einer Haltestelle ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man an der Haltestelle eine maximale Wartezeit von x Minuten hat, bis die nächste S-Bahn kommt?

14 Die Exponentialverteilung
Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter 𝜆>0, 𝜆∈ℝ, kurz 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆), falls 𝑋 die Dichte

15 Die Exponentialverteilung
Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

16 Satz: Die Exponentialverteilung 𝐸𝑥𝑝(𝜆) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝐸𝑥𝑝(𝜆))= und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝐸𝑥𝑝(𝜆))=

17 Beispiel Lebenserwartung einer Glühbirne
Die Glühbirnen einer bestimmten Sorte haben eine Lebenserwartung von 2000 Stunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Glühbirne. eine Brenndauer von mind Stunden hat? eine Brenndauer von mehr als 5000 Stunden hat? eine Brenndauer zw.1800 und 2800 Stunden hat? Nach welchem Zeitraum ist von einer Glühbirnen-Menge dieser Sorte die Hälfte intakt? (unter Voraussetzung, dass alle dieser Birnen gleich beansprucht werden?

18 Die Normalverteilung

19 Die Normalverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Normalverteilung mit den Parametern 𝜇 und 𝜎², 𝜇∈ℝ, 𝜎>0, kurz 𝑋~𝒩(𝜇,𝜎²), falls 𝑋 die Dichte , 𝑥∈ℝ besitzt.

20 Die Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung 𝒩(0,1) mit 𝜇=0 und 𝜎²=1 besitzt die Verteilungsfunktion , 𝑦∈ℝ mit der Dichtefunktion

21 Die Normalverteilung Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung
hat die Darstellung , 𝑥∈ℝ

22

23 Satz: Die Normalverteilung 𝒩(𝜇,𝜎²) hat den Erwartungswert 𝐸(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜇
und die Varianz 𝑉𝑎𝑟(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜎²

24 Aufgabe: Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X)=0 und Var(X)=1. Berechne

25 Beispiel Der Intelligenzquotient (IQ) einer bestimmten Bevölkerungsschicht sein 𝒩(100,15²)-verteilt. Man bestimme die Konstante c so, dass eine aus dieser Bevölkerungsschicht zufällig ausgewählte Person mit Wahrscheinlich- keit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt.

26 Aufgabe Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
Bestimme k so, dass f(x) eine Dichte wird. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Bestimme die Verteilung F(x) dieser Zufallsvariablen. Berechne die Wahrscheinlichkeit .

27 Zusammenfassung Allgemeine stetige Verteilungen mit Dichten
Wichtige Beispiele: Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung

28 Quellen Bosch, K. (2003). Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Dehling, H., Haupt, B. (2004). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Berlin: Springer Verlag. Fischer, G. (2005). Stochastik einmal anders. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Henze, N. (2010). Stochastik für Einsteiger. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Hübner, G. (2009). Stochastik. 5.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Kersting, G., Wakolbinger, A. (2008). Elementare Stochastik. Basel: Birkhäuser. Krengel, U. (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Kütting, H., Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. 2. Auflage. Berlin: Springer Verlag. Wahrscheinlichkeitsrechnung/zufallsvariable.pdf, Zugriff am , 14:20Uhr Zugriff am , 15:45Uhr Stetige_Verteilung.pdf Zugriff am , 15:30Uhr