Statistische Methoden II SS 2003 Vorlesung: Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort: Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 2: 414 Arne Neumann Di 11.15 - 12.45 Gruppe 3: 414 Andreas Matz Mi 7.15 - 8.45 Gruppe 1: 414 Andreas Matz Mi 13.00 - 14.45 Gruppe 4: 301 Birte Holtfreter Do 7.30 - 9.00 Gruppe 5: 301 Birte Holtfreter Do 9.15 - 10.45 Gruppe 6: 301 Birte Holtfreter Do 11.00 - 12.30 Ort: Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammen- hang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau 

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n  100)

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

Chi-Quadrat-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

Student-Verteilung

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen

Chi-Quadrat-Verteilung falsch

Student-Verteilung

für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall 4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall

Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr- scheinlichkeit“ sollte klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahr- scheinlichkeit“ Entscheidung