Wahrscheinlichkeitstheorie

Statistische Methoden I WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 1. Semester 2. Semester Wahrscheinlich- keitstheorie

Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt

Differenz Komplement

Wahrscheinlichkeitsräume

Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Daraus ergeben sich:

Urnenmodelle

Achtung Aufgabe!

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

Die Poisson-Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

Die Binomialverteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Achtung Aufgabe!

Achtung noch eine

Wahrscheinlichkeitsdichten

Die Exponential-Verteilung

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein

Die Cauchy-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine

Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

Allgemein definiert man:

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir: Allgemein definiert man:

Achtung Aufgabe!

Achtung

Pfadregel

Dann hat man:

START p(1) p(2) p(3) p( ) p( ) p( ) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

START /4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

Achtung Aufgabe!

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaf- fen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3

Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

Für große m nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

Verteilungsfunktion Beispiel Haushaltsgröße

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

stetig f nennt man Dichtefunktion von X

Verteilungsfunktion diskret stetig

diskret stetig

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

Die Binomialverteilung

Erwartungswert Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

Die Poisson-Verteilung

Erwartungswert Varianz

Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert und Varianz III

Erwartungswert Varianz

Die Gauß- oder Normalverteilung

Achtung Aufgabe!

Achtung noch eine

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Erwartungswert Varianz

Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Erwartungswert Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder

Brösel Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt: d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die Einkaufswahrscheinlichkeit p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

Der Zentrale Grenzwertsatz

Achtung Aufgabe!

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Achtung Aufgabe! noch eine

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel Ruin der Spieler 4.5. Anwendungen

Endliche Markov-Ketten Der Aktienkurs der ZB-Aktie zeige das folgende etwas merkwürdige Verhalten: - Wenn der Kurs heute gegenüber gestern gestiegen ist, dann steigt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 2/3 und fällt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/3 (gegenüber heute). - Ist jedoch der Kurs heute gegenüber gestern gefallen, dann fällt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 3/4 und steigt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/4 (gegenüber heute).

Wir versehen jeden Tag mit einem Plus (+) oder mit einem Minus (-) je nachdem, ob der Kurs an diesem Tag gegenüber dem Vortag gestiegen oder gefallen ist. Dann hängt die Prognose dafür, ob der Kurs morgen gegenüber heute steigt oder fällt, nur davon ab, ob die Aktie heute mit einem + oder mit einem – versehen ist /3 1/3 1/4 3/4

+ - 1/3 1/4

Problem 1 Problem 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist? Problem 2 Problem 2: Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, in n Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist, für großes n? Strebt diese Wahrscheinlichkeit für n gegen einen festen Wert? Was passiert, wenn man von einem Minus-Tag aus startet?

Das stochastische Verhalten einer Markov-Kette wird vollständig bestimmt durch Übergangsmatrix - die Übergangsmatrix P und Anfangsvektor - den Anfangsvektor π Die Eingänge der nten Potenz der Übergangsmatrix sind die Übergangswahrscheinlichkeiten in n Schritten.

Berechnung der nten Potenz von P mit Mitteln Linearen Algebra der Linearen Algebra (Eigenwerte und Eigenvektoren).

/4 1/2 3/4 1/2 1

Grenzverhalten von Markov-Ketten irreduzibel Falls die Markov-Kette irreduzibel ist (d. h. es gibt eine Zahl N, so dass jeder Zustand von jedem Zustand aus in N Schritten erreichbar ist): Die Wahrscheinlichkeiten in n Schritten vom Zustand i aus zum Zustand j zu gelangen konvergieren für n gegen eine von i unabhängigen Wert α j. Der Vektor α ist der einzige Wahrscheinlichkeitsvektor, der der Gleichung α P = α genügt.

Die Maus in der Wohnung! Sie geht jeweils von einem Zimmer zu einem zufälligen Nachbarzimmer. Wie groß ist ihre Gewinnchance ? 5 4 KATZE Verlustzustand 1 MAUS Startzustand 2 3 KÄSE Gewinnzustand (Vorlesung Prof. Bandt)

Mittelwertsregel für Gewinnwahrscheinlichkeiten g i : Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn man von i aus startet g i = p ij g j j = 1 k Mittelwertsregel

/2 1/3 1/2 1/3

m-1 p p p p q q q q m Zwei Spieler A und B Kapital von A: a Kapital von B: b Gesamtkapital: m = a + b Gewinnwahrscheinlichkeiten Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten für A und für B

p p p p q q q q q m Ruin des Spielers Ruin-Wahrscheinlichkeit Berechnung der Ruin-Wahrscheinlichkeit für A

Erneuerung von Geräten (Kartenhaus-Prozess) N

Berechnung der Erneuerungswahrscheinlichkeit für n Erneuerungssatz