10. Schwingungen 10. 1. Harmonische Schwingungen Schwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen. Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung, ... 10. 1. Harmonische Schwingungen Versuch: 10. Schwingungen

(y0) Amplitude = größte Auslenkung Begriffe: (T) (T) Schwingungsdauer = Periode = Zeit zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen. (Wenn der schwingende Körper den Bahnpunkt wieder in gleicher Richtung durchläuft.) y0 y 1 Periode (T) (y0) Amplitude = größte Auslenkung (y) Elongation = momentane Auslenkung ( diese ist von der Zeit abhängig) (f) Frequenz = Anzahl der Schwingungen / Zeit [f] = 1 Hertz 1 Hz= 1 s-1 10. Schwingungen

10.1.1 Schwingung des Federpendels: Beispiele für harmonische Schwingungen: 10.1.1 Schwingung des Federpendels: Wir vergleichen die Projektion einer Kreisbewegung mit der Schwingung eines Federpendels. Federpendel: Kreisbewegung u. deren Projektion Fy = – k·y φ = ωt - weil F, y antiparallel Fy = – mω2r·cosωt r = y0 Fy = – m ω2y0cosωt Fy = – ky0·cosωt k y 10. Schwingungen

φ = ωt Fy F Fy = – mω2r·cosωt 10. Schwingungen

v vy vy = –ωy0·sinωt 10. Schwingungen

Schwingungsdauer: ω = 2π/T ; k = mω2 ; ω2 = k/m Elongation: y(t) = y0.cosωt Schwingungsdauer: ω = 2π/T ; k = mω2 ; ω2 = k/m Geschwindigkeit der Elongation: vy(t) = - y0·ω·sinωt Beschleunigung: hat die Richtung der Kraft, ist also y entgegengesetzt. ay(t) = - y0·ω2·cosωt 10. Schwingungen

10.1.2 Das Fadenpendel (mathemat. Pendel) Bei sehr kleiner Auslenkung ist s ≈ x. Das heißt, die Kraft ist proportional der Auslenkung wie beim Federpendel. Das Hooksche Gesetz ist erfüllt. Aus der Formel für die Schwingungsdauer des Federpendels wird: Schwingungsdauer des Fadenpendels. 10. Schwingungen

Schülerversuche zu Feder- und Fadenpendel 10. Schwingungen

Federpendel Aufbau: 10. Schwingungen

Aufgabe: Federpendel Miss die Federkonstante Δl = ...... cm = ..... m Miss den Abstand vom Tisch bis zum Gewichtsteller Lege 50 g auf den Gewichtsteller und miss wieder den Abstand Berechne die Differenz Δl = ...... cm = ..... m F = 0,05·9,81N Δl 10. Schwingungen

Federpendel Aufgabe: Miss die Schwingungsdauer von 10 Schwingungen Zieh dazu die Feder um ca. 7 cm nach unten und las sie los. Beginne bei der Zählung mit 0. Dividiere durch 10 10. Schwingungen

Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel Versuch 2: Wir versetzen diese Anordnung in Schwingung und messen die Zeitdauer für 10 Schwingungen: 10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel 10. Schwingungen

Bestimme die Schwingungsdauer des Fadenpendels Aufbau Bestimme die Schwingungsdauer des Fadenpendels Bei unterschiedlicher Amplitude Unterschiedlicher Masse Unterschiedlicher Fadenlänge 10. Schwingungen

Schwingungsdauer beim Fadenpendel: Fertige eine Skizze an! Versuch 1: Pendellänge l = 0,6m; Auslenkung ca. 5cm; 2 Schlitzgewichte (2·50 g + 10 g) 10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s Versuch 2: wie Versuch 1 jedoch Auslenkung ca. 10cm 10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Amplitude ..... Versuch 3: Pendellänge l = 0,6m ; 4 Schlitzgewichte (4·50g + 10g) (Beachte den Schwerpunkt !!) 10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Masse ..... 10. Schwingungen

Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die Schwingungsdauer... Versuch 4: Pendellänge l = 0,3m 10·T = ..... s T = ..... s Versuch 5: Pendellänge l = 1,2m 10·T = ..... s T = ..... s Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die Schwingungsdauer... Vergleiche mit der Formel: Zusatz: Ermittle aus der Schwingungsdauer des Fadenpendels die Erdbeschleunigung! 10. Schwingungen

Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, deren Weg-Zeit-Diagramm eine Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen. Bei ihnen gibt es keinen Zusammenhang zwischen Amplitude und Schwingungsdauer. Beispiele: Federpendel, Fadenpendel, Stimmgabel, Blattfeder, ... nicht: schwingende Saite. 10. Schwingungen

10.2 Energie des harmonischen Oszillators. Die Energie wächst mit dem Quadrat der Amplitude und mit dem Quadrat der Frequenz. 10. Schwingungen

10.3 Überlagerung von Schwingungen 10.3.1 Die Phasenkonstante Loslassen nach Auslenkung. Anstoßen in Ruhelage: φ = 0 y = y0sin(ωt) 10. Schwingungen

Auslenken und Anstoßen: Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an. Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ1 - φ2 10. Schwingungen

10.3.2 Addition von Schwingungen 10.3.2.1 Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz Versuch: Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen. Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser. Mathematische Beschreibung: 1. Schwingung: y1 = y01sin(ωt) 2. Schwingung: y2 = y02sin(ωt + φ) φ ... Phasenverschiebung 10. Schwingungen

a) φ = 0 Gleichphasigkeit: y = y1 + y2 = (y01 + y02).sin(ωt) Sonderfälle: a) φ = 0 Gleichphasigkeit: y = y1 + y2 = (y01 + y02).sin(ωt) Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude Konstruktive Interferenz 10. Schwingungen

y = y1 + y2 = y01·sin(t) + y02·sin(ωt+π) = b) φ = π y = y1 + y2 = y01·sin(t) + y02·sin(ωt+π) = y01·sin(ω t) - y02·sin(ωt) = (y01 - y02)·sin(ω t) Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude. bei y01 = y02 ist die resultierende Amplitude 0. Destruktive Interferenz. 10. Schwingungen

Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt. 10. Schwingungen

10.3.2.2 Lissajoussche Figuren Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden. Versuch: Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert. 10. Schwingungen

Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x0sin(ω1t) y - Schwingung: y = y0sin(ω2t+φ) φ ... Phasenverschiebung Sonderfälle: 1. ω1 = ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0 Gerade 2. ω1 = ω2 = ω ; x0 = y0 ; φ = π/2 x - Schwingung: x = r.sin(ωt) y - Schwingung: y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) → Kreis x0 ≠ y0 → Ellipse 10. Schwingungen

x - Schwingung: x = x0sin(2ωt) 3. ω1 = 2ω ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0 x - Schwingung: x = x0sin(2ωt) y - Schwingung: y = y0sin(ωt) Betrachte auch den Fall = φ = π/2 Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = fx : fy 10. Schwingungen

10.4 Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein. Reale Schwingungen verhalten sich nicht so. Versuch: Pendel wird in Schwingung versetzt. Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet. Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab. Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung. Vgl. B. 6RG S. 76 10. Schwingungen

Mathematische Beschreibung: y = y0.e-δt·sin(ωt) δ ... Dämpfungsfaktor e- δt ... Dämpfungsglied 10. Schwingungen

Gib im TI 83+ ein: Achtung MODE Radiant 10. Schwingungen

Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man Rückkopplungseinrichtungen. Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt. Beispiel: Pendeluhr 10. Schwingungen

Anker Steigrad Gewicht Pendel Pendeluhr Anker Steigrad Gewicht Pendel 10. Schwingungen

Dämpfung kann aber auch erwünscht sein: Zeiger eines Analogmessgeräts, Stoßdämpfer. 10. Schwingungen

10.5 Erzwungene Schwingung - Resonanz Schülerversuch: Die Spule mit 800 Windungen wird an den Funktionsgenerator angeschlossen. Einstellung: Frequenzbereich 1Hz, Sinus Erhöhe mit dem Frequenzdrehknopf (links) die Frequenz sehr sorgfältig und beobachte was passiert. Miss die Auslenkungen der Blattfeder und trage sie in Abhängigkeit von der Frequenz auf. Beachte: Interessante Ereignisse müssen sich nicht mit "ganzzahligen" Frequenzen decken. 10. Schwingungen

Trage die Werte in einem Diagramm auf. Frequenz [Hz] Auslenkung in [mm] Trage die Werte in einem Diagramm auf. 10. Schwingungen

Resonanzkurven  Dämpfung: mittel klein –2 groß f0 10. Schwingungen

Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab. Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz. Vgl. Abb. 77.3 (BW 6RG) Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) → Resonanzkatastrophe. Lies Beispiele Buch Basiswissen 6 RG Seite 78. Tacoma Narrows Bridge Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper, Zungenfrequenzmesser 10. Schwingungen

Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge 7. November 1940 heute 10. Schwingungen heute

Zungenfrequenzmesser 10. Schwingungen