Schwingungen Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert. Beispiele: Federpendel Elektronische.

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1 Schwingungen Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert. Beispiele: Federpendel Elektronische Oszillationen Biologische Rhythmen ... m x x0 Bewegungsgl.: „Kreisfrequenz“ Lösungsansatz: WS 2014/15

2 Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators
x x0 A Schwingungsdauer Frequenz Allgemein: Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators Gaub WS 2014/15

3 Allgemeine Lösung des harm. Oszillators
Lösungsansatz: allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen: Gaub WS 2014/15

4 Komplexe Zahlen mit Komplex konjugierte Zahl: Realteil: Imaginärteil:
Betrag: Darstellung in der komplexen Zahlenebene Im(z) Re(z) a b „Polardarstellung“ einer komplexen Zahl WS 2014/15

5 c in Polardarstellung:
Die allgemeine Lösung macht nur dann physikalischen Sinn, wenn x(t) reell ist. c in Polardarstellung: wegen: Amplitude Phasenwinkel Gaub WS 2014/15

6 Amplitude und Phasenwinkel werden durch die Randbedg. festgelegt.
z. B.: Beispiele für harm. Oszillatoren: Fadenpendel: Gaub WS 2014/15

7 Verdrillen des Drahts um einen Winkel a
Torsionspendel: Verdrillen des Drahts um einen Winkel a führt zu einem Rückstellmoment: Beschleunigung a, die auf jede Masse wirkt: „Trägheitsmoment“ Gaub WS 2014/15

8 Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen
Epot x x0 x0: Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum) Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden. Taylorentwicklung um x0: Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten z. B. Molekülschwingungen WS 2014/15

9 Darstellung von Schwingungen: Lissajou-Figuren
Gaub WS 2014/15

10 Lissajou-Figuren mit verschiedenen Freqenzen und Phasen Gaub

11 Überlagerung von Schwingungen
Wenn ein Körper zwei Schwingungen gleichzeitig ausführt, überlagern sich die beiden Schwingungen: I. gleiche Frequenz, versch. Amplitude: Gaub WS 2014/15

12 Nur der Realteil hat physikal. Bedeutung
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz erzeugt wieder eine harmonische Schwingung mit neuer Amplitude und neuer Phase. Gaub

13 II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:
Gaub WS 2014/15

14 II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:
oder einfacher: mit Modulation der Amplitude „Schwebung“ Gaub WS 2014/15

15 Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung
Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen: „Fourier Reihe“ Beispiel: Rechteck-Funktion 1 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

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