Zufallsgrößen und Zufallsprozesse Vorlesung Teil 1 Herbert.Jahn@dlr.de

X: Zufallsgröße X kann (wenn ein gewisser Komplex S von Bedingungen erfüllt ist) im Ergebnis eines Versuches i einen Wert xi aus einer Menge M annehmen (Ereignis, event)). M = Menge der reellen Zahlen (d.h. - < xi < +) X: kontinuierliche Zufallsgröße. M enthält nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte (z.B. xi  {1,2,3,…}) X: diskrete Zufallsgröße xi heißt Realisierung (sample) der Zufallsgröße X im Versuch i.

X: diskrete Zufallsgröße P{X = x} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X in einem Versuch den Wert x annimmt. xk (k = 1,…,N): mögliche Realisierungen der Zufallsgröße X P{X = xk} = pk: Wahrscheinlichkeitsverteilung (probability distribution) der Zufallsgröße X Normierung:

Poissonverteilung: (n = 0,1,…)

X: kontinuierliche (stetige) Zufallsgröße Realisierung x: reelle Zahl mit - < x < +. Wahrscheinlichkeitsdichte (probability density) pX(x): ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert x im Intervall a < x < b annimmt. Normierung:

Gaußverteilung (Normalverteilung): ausgezogene Kurve: a = 30,  = 5 gestrichelte Kurve: a = 100,  = 30

Verbundwahrscheinlichkeitsdichte (joint probability density) pX,Y(x,y): ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert x im Intervall a < x < b und Y einen Wert x im Intervall c < x < d annimmt. statistische Unabhängigkeit von X und Y: Normierung:

bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte (conditional probability density): statistische Unabhängigkeit: Verbundwahrscheinlichkeitsdichte  Einzelwahrscheinlichkeitsdichten:

Momente Erwartungswert (Moment 1. Ordnung): (Zentral-) Momente k-ter Ordnung (k  2): Varianz (variance) (k = 2):

Standardabweichung (standard deviation): Für die Gaußverteilung gilt:

3 - Wert:

Momente der Verbundwahrscheinlichkeitsdichte pX,Y: Kovarianz: X, Y statistisch unabhängig ( ) 

Korrelationskoeffizient: Es gilt zweidimensionale Gaußverteilung:

2D-Gaußverteilung (X = 4, Y = 6, rX,Y = 0.5, X = 1, Y = 2)

Linien konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte: Ellipsen N Zufallsgrößen X1,…,XN:  x y x Y 

Diskrete Zufallsgrößen X, Y X: Werte xi (i = 1,…,M), Y: Werte yj (j = 1,…,N) P{X = xi,Y=yj} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert xi und Y den Wert yj annimmt Erwartungswert: Varianz: Kovarianz:

Normierung: Statistische Unabhängigkeit:

Poissonverteilung: (n = 0,1,…) Erwartungswert: Varianz: Signal - Rausch - Verhältnis (Signal to Noise Ratio):