Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen

Präsentation zum Thema: "Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen"—  Präsentation transkript:

1 Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen
Magnus Frühling

2 Inhalt Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte
Standardnormalverteilung Verallgemeinerung Zentraler Gernzwertsatz Beispiele Quellen

3 Gaußsche Normalverteilung
Dichteverteilung bei stetigen (Zufalls-) Variablen µ = Erwartungswert („Mittelwert“ einer Zufallsvariablen) σ² = Varianz π=3, e=2,72… Symmetrisch (um µ)

4 Wahrscheinlichkeitsdichte
Stetige Zufallsvariable -> ein bestimmter Wert hat keine zuordenbare Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit Null P(X =ℝ) = 0 Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit -> Wahrscheinlichkeitsdichte

5 Standardnormalverteilung
Bei Standardisierung wird die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung N (0;1) gebracht Z-Transformation: 𝑧= ℝ−𝜇 𝜎 Dichtefunktion : 𝑃(𝑋 ≤ℝ)=Φ(𝑧)

6 Verallgemeinerung Ca. 68 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 1 σ um den Mittelwert. Gut 95 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 2 σ um den Mittelwert. 99,7 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 3 σ um den Mittelwert.

7 Zentraler Gernzwertsatz
Mit steigender Stichprobengröße und identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung nähert sich die Verteilungen der Standardnormalverteilung an. Stichprobengröße n ≥ 30

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9 Beispiel Schraube NIE alle gleich groß „Atomgröße“

10 Beispiele Massen von Körpern Körperlängen Abstand von Treppenstufen
Korngrößen Teilchengeschwindigkeiten bei konstanter Temperatur und Druck Fehlerverteilung

11 Quellen ludwig-mayerhofer/ statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf Mathematik 3.1 Cornelsen Verlag 2011 S.118ff

12 Bildquellen original_images/1048_0.jpg