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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Statistik und Datenanalyse 1.Wahrscheinlichkeit 2.Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3.Monte-Carlo-Methoden 4.Statistische Tests 5.Parameterschätzung 6.Maximum Likelihood 7.Methode der kleinsten Quadrate 8.Statistische Fehler, Konfidenzintervalle, Ausschlussgrenzen
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Kolmogorov-Axiome Mathematische Definition von Wahrscheinlichkeit (damit ist aber noch keine Bedeutung/Interpretation von W. impliziert) Menge S von “Ereignissen” (Stichprobenraum) Jeder Untermenge A von S wird eine reelle Zahl P(A) zugewiesen P(A) = Wahrscheinlichkeit von A so dass gilt 1.für jede Untermenge A von S ist P(A) 0 2.P(S) = 1 3.für disjunkte Untermengen A und B (d.h. für A B=Ø) ist P(A B) = P(A) + P(B)
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Folgerungen aus den Kolmogorov-Axiomen P(Ø) = 0 0 P(A) 1 A B P(A) P(B) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) für das A, das Komplement von A gilt P(A) = 1 – P(A) P(A A) = 1 A und B heißen statistisch unabhängig (oder unkorreliert) genau dann wenn P(A B) = P(A)P(B) Das bedeutet, dass die Zugehörigkeit eines Ereignisses zu A nichts aussagt darüber, ob es auch zu B gehört oder nicht Wichtiges Konzept!
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Statistische Unabhängikeit - Beispiele Beispiel 1 (unkorreliert): S = alle Studierenden der Uni Freiburg A = alle männlichen Studierenden der Uni Freiburg B = alle Studierenden die zwischen 1.1. und 30.4. Geburtstag haben A und B sind (vermutlich) unkorreliert, also P(A B) = P(A)P(B) Beispiel 2 (korreliert): S = alle Menschen A = alle Kinder unter 12 Jahren B = alle Menschen unter 150 cm A und B sind (stark) positiv korreliert, d.h. P(A B) > P(A)*P(B)
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Statistische Unabhängikeit - Beispiele Beispiel 3: Rutherfordstreuung
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Statistische Unabhängikeit - Beispiele Beispiel 4: Rb
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für A wenn B gegeben ist: Wahrscheinlichkeit für B wenn A gegeben ist: Daraus folgt das Bayes-Theorem: Wenn man S in disjunkte Untermengen A i aufteilt gilt: und mit Bayes-Theorem folgt:
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Beispiel zum Bayes Theorem Ein Bluttest diagnostiziert 100% aller Erkrankten P(positiv|erkrankt) = 100% und nur 1% aller gesunden falsch positiv P(positiv|gesund) = 1% Der Anteil der Erkrankten in der Bevölkerung ist 0.2% P(erkrankt) = 0.2% Damit versagt der Test aber in 80 % aller Fälle: P(erkrankt|positiv) = P(positiv|erkrankt)P(erkrankt)/P(gesund) = 100%*0.2%/99.8% = 20% d.h. 80% aller Diagnosen sind falsch positiv.
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit als Häufigkeit Verbreitetste Interpretation von Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit eines Ergebnisses einer Messung (Ereignis) im Grenzwert unendlich vieler Wiederholungen dieser Messung Dies ist die Interpretation von Wahrscheinlichkeit - in der Quantenmechanik - in der statistischen Mechanik Die Elemente des Stichprobenraums sind alle möglichen Ergebnisse einer Messung
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit als Häufigkeit Probleme mit der Häufigkeitsdefinition Grenzwert kann i.d.R. nicht gebildet werden Abschätzung des Grenzwertes aus n Messungen
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Subjektive Wahrscheinlichkeit (Bayes-Statistik)
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsdichte Einfachster Fall: Messung kann nur diskrete Werte x i annehmen (z.B. Zählexperiment) Wahrscheinlichkeit x i zu erhalten: P(x i ) =: f i Häufig ist ein Messergebnis aber eine kontinuierliche Größe x Wahrscheinlichkeit genau x zu erhalten ist Null Besser: Wahrscheinlichkeit eine Messung im Intervall [x+dx] zu erhalten P([x+dx]) =: f(x) dx f(x) = Wahrscheinlichkeitsdichte mit f(x) ist keine Wahrscheinlichkeit, erst Integration über endlichen Bereich ergibt eine Wahrscheinlichkeit Kumulative Verteilungsfunktion: gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Messergebnis kleiner als x ist.
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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung im Intervall [a,b] liegt ist F(b)-F(a) Für diskrete Zufallsvariable ist Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:zugehörige kumulative Verteilungsfunktion:
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