Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate 521.202 / SES.125 Parameterschätzung Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate Torsten Mayer-Gürr

Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Beispiel: Mittelwert Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen) Beobachtungen (Messwerte) Unbekannte Strecke Residuen (Messrauschen) 21.10.2015

Änderung des mittleren Meeresspiegels 21.10.2015

Ausgleichende Gerade Beobachtungsgleichungen: Residuen (Messrauschen) Höhe [mm] Beobachtungen Modell: Geradengleichung Zeit [Tage] m=2 unbekannte Parameter: a, b 21.10.2015

Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Gemessen: zum Zeitpunkt Gesucht: Physikalisches Modell: m=3 unbekannte Parameter n=11 Messungen 21.10.2015

Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Beobachtungsgleichungen: 21.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes 21.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes Beobachtet: Nivellierte Höhenunterschiede Gesucht: Höhen der Festpunkte 21.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes Beobachtungsgleichungen 21.10.2015

Gauß-Markoff Modell 21.10.2015

Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor mit Beobachtungen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern (n x 1) Vektor mit Residuen n 1 21.10.2015

Satellitengeodäsie GPS Antenne Beobachtete Bahn eines Satelliten Positionsbestimmung alle 30 Sekunden über 10 Jahre: => 30 Millionen Beobachtungen 21.10.2015

Satellitengeodäsie Positionsbestimmung alle 30 Sekunden über 10 Jahre: => 30 Millionen Beobachtungen Verknüpfung durch Gauß-Markoff Modell Beschreibung des Schwerefeldes der Erde bis zu 60.000 unbekannte Parameter 21.10.2015

Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor mit Beobachtungen (n x 1) Vektor mit Residuen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern 1 1 1 n n n 21.10.2015

Gauß-Markoff Modell Beobachtungsgleichungen (n x 1) Vektor mit Beobachtungen (n x 1) Vektor mit Residuen (n x m) Designmatrix mit bekannten Koeffizienten (m x 1) Vektor mit unbekannten Parametern Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die Parameter x so, dass die Quadratsumme der Residuen möglichst klein wird. 21.10.2015

Tafel: Minimierung der Quadratsumme der Residuen 21.10.2015

Gauß-Markoff Modell Quadratsumme der Residuen Quadratsumme soll minimal werden. Notwendige Bedingung Schätzung der Parameter m Gleichungen mit m Unbekannten 21.10.2015

Tafel: Ist die Quadratsumme wirklich minimal? 21.10.2015

Tafel: Beispiele 21.10.2015

Freie Stationierung 21.10.2015

Freie Stationierung Beobachtungen: Gemessene Strecken Gesucht: Koordinaten des Standpunkts Wie lauten die Beobachtungsgleichungen? 21.10.2015

Tafel: Nicht-lineare Beobachtungsgleichungen 21.10.2015

Tafel: Gewichtete Beobachtungen 21.10.2015