Approximation (Teil 2) / SES.125 Parameterschätzung

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1 Approximation (Teil 2) 521.202 / SES.125 Parameterschätzung
Torsten Mayer-Gürr

2 Approximation

3 Approximation Linearkombination von Basisvektoren:
Approximation eines Vektors: Bedingung: Differenzvektor muss senkrecht (normal) auf allen Basisvektoren stehen Normalgleichungssystem

4 Approximation Nornalgleichungssystem: m Gleichungen mit m Unbekannten
Was wäre, wenn die Basisvektoren a senkrecht aufeinander ständen? Die Lösung wäre einfach:

5 Gram-Schmidt Orthogonalisierung

6 QR Zerlegung QR-Zerlegung mit Gram-Schmidt Algorithmus: Nachteile:
Numerisch nicht stabil Orthogonale Basisvektoren nur für den Spaltenraum von A und nicht für den Komplementärraum => In der Praxis berechnet man die QR-Zerlegung mittels Householdertransformationen m r=n-m n

7 QR Zerlegung QR-Zerlegung mit der orthogonalen Matrix
und der oberen Dreiecksmatrix R m m r=n-m m m n Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A

8 QR Zerlegung Wenn A mit Q gedreht wird QR-Zerlegung m m r=n-m m m n
Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A

9 Approximation Die Spaltenvektoren von
spannen den Spaltenraum von A auf Der geschätzte Residuenvektor steht senkrecht auf allen Spaltenvektoren Der Beobachtungsvektor l wird in den Spaltenraum von A projiziert Mit der orthogonalen Projektionsmatrix Die Projektion des Beobachtungsvektors l in den Komplementärraum von A ergibt den geschätzten Residuenvektor Projektionsmatrix in den orthogonalen Komplementärraum:

10 Orthogonale Projektoren

11 Projektoren Beispiel: Orthogonale Projektion eines Vektors in die xy-Ebene Satz: Die Eigenwerte einer Projektionsmatrix sind 0 oder 1 n m r=n-m Satz: Projektionsmatrizen sind idempotent

12 Projektoren Orthogonale Projektionsmatrix in den Spaltenraum der Matrix A: Projektionsmatrix in den orthogonalen Komplementärraum: Eigenschaften: m r=n-m n

13 QR Zerlegung QR-Zerlegung mit der orthogonalen Matrix
und der oberen Dreiecksmatrix R m m r=n-m m m n Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A

14 QR Zerlegung QR-Zerlegung QR-Zerlegung r=n-m m n
Normalgleichungsmatrix Projektionsmatrix: Projektionsmatrix:

15 Gauß-Markoff mit QR Gauß-Markoff Modell QR-Zerlegung Transformation:
Gauß-Markoff Modell mit der Dreiecksmatrix R

16 Gauß-Markoff mit QR Gauß-Markoff Modell mit der Dreiecksmatrix R
Geschätzte Parameter Schätzung der Beobachtungen: Schätzung der Residuen: Schätzung des Varianzfaktors

17 Netzausgleich

18 Dreiecksnetz 1. Ordnung Anzahl Punkte: 150 Anzahl Beobachtungen:
m = ca. 5*2*150 = ca. 1500 (Strecken und Richtungen zu ca. 5 Nachbarpunkten) Anzahl Parameter?

19 Dreiecksnetz 1. Ordnung Anzahl Punkte: 150 Anzahl Beobachtungen:
m = ca. 5*2*150 = ca. 1500 (Strecken und Richtungen zu ca. 5 Nachbarpunkten) Anzahl Parameter: n = 450 (x,y,o)

20 Dreiecksnetz 1. Ordnung Beobachtungsgleichungen:

21 Tafel: Berücksichtigung der Gewichtsmatrix

22 Tafel: Dekorrelation & Homogeniserung