Satellitengeodäsie Keplerbahnen Torsten Mayer-Gürr

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1 508.535 Satellitengeodäsie Keplerbahnen Torsten Mayer-Gürr

2 Ziel: Satellitenbahn bestimmen
Auf welcher Bahn bewegt sich der Satellit? Wo befindet sich der Satellit zu welchem Zeitpunkt auf der Bahn? => Keplerelemente Annahme: Erde als Punktmasse

3 Bewegungsgleichung Newtonsche Bewegungsgleichung Gravitationsgesetz
gleichsetzen z y Lege das Zentrum des Koordinatensys. in den Mittelpunkt der Erde: x

4 Bewegungsgleichung des Keplerproblems
Newtonsche Bewegungsgleichung y x z Gravitationsgesetz gleichsetzen Lege das Zentrum des Koordinatensys. in den Mittelpunkt der Erde:

5 Bewegungsgleichung des Keplerproblems
Bewegungsgleichung des Keplerproblems: Differentialgleichung 2. Ordnung Bestimmt bis auf 6 Integrationskonstanten => Keplerelemente y x z

6 Keplergesetze Wir wollen zeigen, dass aus der Bewegungsgleichung des Keplerproblems die drei Keplerschen Gesetze folgen: 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufszeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

7 Keplerelemente Die Bahn kann beschrieben werden durch:
Form der Ellipse Grosse Halbachse Exzentrizität Perigäum

8 Keplerelemente Die Bahn kann beschrieben werden durch:
Form der Ellipse Lage der Ellipse Grosse Halbachse Perigäum Exzentrizität Inklination Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Argument des Perigäums 3. Zeit Perigäums- durchgangszeit Knotenlinie

9 Zusammenfassung Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz
Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

10 Keplerproblem Bewegungsgleichung Nebenrechnung:
Bahndrehimpuls ist konstant Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C => Konstante Bahnebene

11 Flächensatz Flächenelement 2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

12 Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz
Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

13 Transformation in das Bahnsystem
Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens Knotenlinie

14 Transformation in das Bahnsystem
Inklination Knotenlinie

15 Transformation in das Bahnsystem
Inklination Knotenlinie

16 Transformation in das Bahnsystem
Knotenlinie

17 Transformation in das Bahnsystem
Knotenlinie

18 Transformation in das Bahnsystem
Argument des Perigäums (noch nicht definiert) C hängt nicht von ω ab => ω (noch) beliebig wählbar

19 Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz
Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

20 Transformation in das Bahnsystem
Position im Bahnsystem Knotenlinie

21 Position und Geschwindigkeit
Drehimpuls Geschwindigkeit Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit

22 Etliche Rechenschritte später…
Herleitung Bewegungsgleichung Ziel: Festlegung von ω Etliche Rechenschritte später…

23 Herleitung Bewegungsgleichung Ziel: Festlegung von ω
Graßman-Identität:

24 Herleitung A Integrationskonstante (Lenzscher Vektor):
Liegt in der Bahnebene Drehung des Koordinatensystems, so dass die x-Achse (P) in Richtung A zeigt => ω festgelegt Vorschau: e ist auch ein Keplerelement, bis jetzt wissen wir noch nichts darüber!

25 Bestimmung der Geschwindigkeit
Position Geschwindigkeit

26 Bestimmung des Abstands
Position Geschwindigkeit 1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt gleichsetzen umstellen Ellipsengleichung

27 Ellipsen

28 Ellipse

29 Ellipse Brennpunkt

30 Ellipse

31 Ellipse

32 Ellipse

33 Ellipse

34 Ellipse b a E

35 Ellipse b a E

36 Ellipse a b a E

37 Ellipse x p a E

38 lineare Exzentrizität
Ellipse Größe Bezeichnung große Halbachse kleine Halbachse lineare Exzentrizität Exzentrizität Halbparameter x p a E

39 Ellipse Erinnerung: Große Abstand des Satelliten: Halbachse
(Ellipsengleichung) Exzentrizität

40 Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Wikipedia

41 Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Ellipse:

42 Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Parabel:

43 Kegelschnitte Polargleichung für Kegelschnitte Hyperbel:

44 Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz
Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

45 Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a
Exzentrizität: e Geschwindigkeit Position Abstand Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums: Transformation in das Inertialsystem

46 Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht!
Was haben wir bis jetzt? Bahnform: Ellipse Große Halbachse: a Exzentrizität: e Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie noch nicht! Ort des Sat. auf der Ellipse Wahre Anomalie: Lage der Ellipse im Raum: Inklination (Bahnneigung): Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens: Argument des Perigäums:

47 Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

48 Herleitung der Keplergleichung
Abstand - Integration schwierig - Liefert nur die Umkehrung Integration Variablensubstitution -> Exzentrische Anomalie E (≠ lineare Exzentrizität E)

49 Kreisbahn

50 Ellipse

51 Ellipse

52 Ellipse

53 Exzentrische Anomalie
Ellipsengleichung Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

54 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution benötigt Einige Nebenrechnungen später…

55 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution benötigt Umstellen

56 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution + nach kurzer Umformung folgt...

57 Herleitung der Keplergleichung
Variablensubstitution Keplergleichung

58 Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeit

59 Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab
Umlaufzeit Keplergleichung Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab Ein Umlauf: Umlaufszeit

60 Umlaufzeit Keplergleichung Ein Umlauf: Umlaufszeiten zweier Planeten
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen. Umlaufszeit Mittlere Bewegung (mittlere Winkelgeschwindigkeit) Mittlere Anomalie Umrechnung

61 Anomalien Mittlere Anomalie Exzentrische Anomalie Wahre Anomalie
Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten: Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt t oder - Perigäumsdurchgangszeit:

62 Anomalien Mittlere Anomalie Keplergleichung Exzentrische Anomalie
Startwert: Iteration: Alle Winkel im Bogenmaß! Wahre Anomalie

63 Zwischenfazit Keplergesetze: Keplerelemente: 1. Keplersches Gesetz
Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt Form (d. Ellipse) Lage (d. Ellipse) Zeit 2. Keplersches Gesetz In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs- zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.