Lage, Schnitte und Schnittwinkel

Präsentation zum Thema: "Lage, Schnitte und Schnittwinkel"—  Präsentation transkript:

1 Lage, Schnitte und Schnittwinkel
Schnitt zweier Geraden Schnitt Gerade / Ebene Schnitt zweier Ebenen Schnittwinkel Die Lage einer Ebene im Koordinatensystem

2 Lage zweier Geraden im Raum
Geraden mit Schnittpunkt Zwei Geraden im Raum können … identisch sein parallel sein sich schneiden sich nicht schneiden und nicht parallel sein Geraden, die sich nicht schneiden und nicht parallel sind, nennt man windschief. 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝑆 𝑔 1 𝑔 2 Windschiefe Geraden 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝑔 1 𝑔 2

3 Schnitt zweier Geraden
Um den Schnitt zwischen zwei Geraden zu bestimmen geht man wie folgt vor: Gleichsetzen liefert ein lineares Gleichungssystem. Durch Lösen des Gleichungssystems lässt sich ein Parameter bestimmen. Einsetzen des gefundenen Wertes für den Parameter in die zugehörige Geradengleichung liefert den Schnittpunkt.

4 Interpretation der Lösung
Fall 1 - Das LGS hat keine Lösung: Falls beim Bestimmen der Parameter ein Widerspruch entsteht, so gibt es keinen Schnittpunkt. Fall 2 - Das LGS ist eindeutig lösbar: Falls die Parameter eindeutig bestimmbar sind, so gibt es genau einen Schnittpunkt. Fall 3 - Das LGS hat unendlich viele Lösungen: Falls ein Parameter frei wählbar ist, so ergibt sich eine Schnittgerade, d.h. dass die beiden Geraden identisch sind.

5 Rechenbeispiel 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden folgenden Geraden: 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 und 𝑔 2 : 𝑥 = 𝑡 1 −1 3 Lösung: Geradengleichungen Gleichsetzen 𝑠 = 𝑡 1 −1 3 ⇒𝑠 −𝑡 1 −1 3 =

6 Rechenbeispiel 1 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
𝑠 −𝑡 1 −1 3 = Rechenbeispiel 1 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 𝐼.𝑠−𝑡=1 𝐼𝐼.𝑡=1 𝐼𝐼𝐼.3s−3t=3 ⇒𝑠=2 Mit 𝑡=1 und 𝑠=2 ist 𝐼𝐼𝐼. ebenfalls erfüllt (immer mitprüfen!) und es ergibt sich kein Widerspruch. Einsetzen von 𝑠=2 in die zugehörige(!) Gerade, also in 𝑔 1 , liefert den Schnittpunkt: 𝑥 = ⋅ ⇒ 𝑃 3 1 6

7 Rechenbeispiel 2 Untersuchen Sie die beiden folgenden Geraden auf Schnitt- punkte und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 − und 𝑔 2 : 𝑥 = 𝑡 −2,5 −5 3 Lösung: Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, d.h. 𝑔 1 und 𝑔 2 sind entweder parallel oder identisch. Falls ein Punkt von 𝑔 1 auf 𝑔 2 liegt, so sind die Geraden identisch. Wir testen dies, indem der Punkt 𝑃 (dies ist der Punkt zu dem der Stützvektor von 𝑔 2 hinführt) in 𝑔 1 eingesetzt wird.

8 Rechenbeispiel 2 In der 3ten Koordinate liest man −6𝑠=0 also 𝑠=0 ab.
= 𝑠 −6 ⇒ =𝑠 −6 In der 3ten Koordinate liest man −6𝑠=0 also 𝑠=0 ab. Setzt man dies in die zweite Koordinate ein, so erhält man den Widerspruch 6=0⋅10=0.  Der Widerspruch zeigt, dass 𝑔 1 und 𝑔 2 keinen Schnittpunkt haben und somit parallel sind.