Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

Präsentation zum Thema: "Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung"—  Präsentation transkript:

1 Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung
ETHZ Studienwoche 2017 Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

2 Differentialgleichungen
DGL erster Ordnung DGL zweiter Ordnung DGL n-ter Ordnung

3 Einfache numerische Methoden
DGL erster Ordnung: Anfangswert: Anfangswertproblem

4 Einfache numerische Methoden
DGL erster Ordnung: Anfangswert: Anfangswertproblem

5 Euler Verfahren: Explizit

6 Euler Verfahren: Implizit

7 Modifiziertes Euler Verfahren

8 Implizite Mittelpunkts-Regel

9 Implizite Mittelpunkts-Regel

10 Lotka-Volterra-Gleichungen
...Oft nur Raeuber-Beute Modell genannt Modell der Wechselwirkung von Raeuber- und Beutepopulation ... Anzahl Beutelebewesen ... Anzahl Raeuber ... Geburtsrate der Beute ... Sterberate der Raeuber ... Sterberate der Beute pro Raeuber ... Geburtsrate der Raeuber pro Beute

11 Lotka-Volterra-Gleichungen
...Oft nur Raeuber-Beute Modell genannt Modell der Wechselwirkung von Raeuber- und Beutepopulation Zwei gekoppelte Diff.-Gleichungen erster Ordnung ... Anzahl Beutelebewesen ... Anzahl Raeuber ... Geburtsrate der Beute ... Sterberate der Raeuber ... Sterberate der Beute pro Raeuber ... Geburtsrate der Raeuber pro Beute

12 Lotka-Volterra-Gleichungen
...Oft nur Raeuber-Beute Modell genannt Modell der Wechselwirkung von Raeuber- und Beutepopulation Diff.-Gleichungs System erster Ordnung ... Anzahl Beutelebewesen ... Anzahl Raeuber ... Geburtsrate der Beute ... Sterberate der Raeuber ... Sterberate der Beute pro Raeuber ... Geburtsrate der Raeuber pro Beute

13 Lotka-Volterra-Gleichungen
...Oft nur Raeuber-Beute Modell genannt Modell der Wechselwirkung von Raeuber- und Beutepopulation Diff.-Gleichungs System erster Ordnung ... Anzahl Beutelebewesen ... Anzahl Raeuber ... Geburtsrate der Beute ... Sterberate der Raeuber ... Sterberate der Beute pro Raeuber ... Geburtsrate der Raeuber pro Beute

14 Lotka-Volterra-Gleichungen
...Oft nur Raeuber-Beute Modell genannt Modell der Wechselwirkung von Raeuber- und Beutepopulation Diff.-Gleichungs System erster Ordnung ... Anzahl Beutelebewesen ... Anzahl Raeuber ... Geburtsrate der Beute ... Sterberate der Raeuber ... Sterberate der Beute pro Raeuber ... Geburtsrate der Raeuber pro Beute

15 Projekt 4 Loese die Lotka-Volterra Diff.-Gl. Mit bis Zeit
Verwende: modifiziertes Euler-Verfahren

16 Projekt 4 Loese die Lotka-Volterra Diff.-Gl. Mit bis Zeit
Verwende: modifiziertes Euler-Verfahren

17 System von Diff.-Gl. System n-ter Ordnung Beispiel: System 2. Ordnung

18 Umschreiben in System 1. Ordnung
Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung kann in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung geschrieben werden: , ...

19 Umschreiben in System 1. Ordnung
Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung kann in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung geschrieben werden:

20 Umschreiben in System 1. Ordnung
Beispiel: Geschwindigkeit!

21 Umschreiben in System 1. Ordnung
Beispiel: Oder mit “Strich” Notation: ,

22 Euler Verfahren Diff.-Gleichung: Explizit Implizit

23 Euler Verfahren Diff.-Gleichung: Explizit Implizit
Eventuell muss man ein (Nicht-) Lineares Gleichungs-System loesen!!!

24 Modifiziertes Euler Verfahren
Diff.-Gleichung: Explizit! Halber Euler Schritt!

25 Implizite Mittelpunkts-Regel
Diff.-Gleichung: Implizit! Mittelwert zwischen Zeitschritten!

26 Implizite Mittelpunkts-Regel
Diff.-Gleichung: Implizit! Eventuell muss man ein (Nicht-) Lineares Gleichungs-System loesen!!!

27 Projekt 5 Pendel Winkelbeschleunigung Nicht-lineare Diff.-Gl.
2. Ordnung!

28 Projekt 5 Pendel Umschreiben in System 1. Ordnung
Loese das System mit den verschiedenen Verfahren die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: freie Wahl! Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische)

29 Projekt 5 Pendel Umschreiben in System 1. Ordnung
Loese das System mit den Verfahren verschiedenen die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: saelber waehlen! Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische)

30 Projekt 5 Pendel Umschreiben in System 1. Ordnung
Loese das System mit den Verfahren verschiedenen die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: saelber waehlen! Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische)

31 Projekt 5 Pendel Umschreiben in System 1. Ordnung
Loese das System mit den Verfahren verschiedenen die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: saelber waehlen! Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische)

32 Projekt 5 Pendel Umschreiben in System 1. Ordnung
Loese das System mit den Verfahren verschiedenen die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: saelber waehlen! Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische)

33 Projekt 6 Satellit ERDE Satellit

34 Projekt 6 Satellit Umschreiben in System 1. Ordnung ...
Loese das System mit den verschiedenen Verfahren die wir kennengelernt haben Anfangsbedingungen: Geostationäre Umlaufbahn... Untersuche den zeitlichen Verlauf der Gesamtenergie (potentielle + kinetische) Untersuche den zeitlichen Verlauf des Drehimpuls Beachte: fuer konstante Kreisbahn Zentripetalkraft = Grav. Kraft!!!