Satellitengeodäsie Kugelfunktionen Torsten Mayer-Gürr

Präsentation zum Thema: "Satellitengeodäsie Kugelfunktionen Torsten Mayer-Gürr"—  Präsentation transkript:

1 508.535 Satellitengeodäsie Kugelfunktionen Torsten Mayer-Gürr

2 Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben.
Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…

3 Gravitationspotential
product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 ... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)

4 Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines Entfernungsmessers y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. x

5 Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome
Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5 Homogenes Polynom vom Grad n Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n

6 Homogene, harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch Die Approximation sollte auch harmonisch sein Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Es lässt sich zeigen, dass es 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n gibt

7 Homogene, harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch Die Approximation sollte auch harmonisch sein Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

8 Koeffizientendreieck
Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

9 Koeffizientendreieck
Standardabweichungen der Monatslösung ITG-Grace2010s ( )

10 Homogene Polynome Homgenes Polynom vom Grad n Satz: Es gilt Beweis

11 Kugelflächenfunktionen
Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel

12 Basisfunktionen

13 Basisfunktionen

14 Basisfunktionen

15 Basisfunktionen

16 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Approximation durch Kugelflächenfunktionen

17 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

18 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

19 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

20 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

21 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

22 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

23 Approx. mit Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

24 Approximation einer gegebenen Funktion durch Kugelflächenfunktionen
oder Wie bestimmt man die Koeffizienten?

25 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Approximation auf der Kugeloberfläche: Norm und Skalarprodukt: Sind die Basisfunktionen orthogonal dann lautet die Lösung

26 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Reihenentwicklung nach Kugelflächenfunktionen: mit den Koeffizienten Norm der Basisfunktionen: Nicht normiert (z.B. Mathematik): Schmidt semi-normalisiert (z.B. Magnetfeld): Wahl der Norm ist beliebig: Vollständig normiert (z.B. Schwerefeld)

27 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Reihenentwicklung nach Kugelflächenfunktionen: mit den Koeffizienten

28 Berechnung der Basisfunktionen

29 Kugelflächenfunktionen
Koordinaten auf der Kugel Kugelflächenfunktion: Homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Basisfunktionen Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Ordnung m

30 Rekursionsformeln Koordinaten auf der Kugel 1. 2.
Faktoren (vollständig normiert) 3. 4.

31 Potential im Außenraum

32 Kugelflächenfunktionen
Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel

33 Kugelfunktionen Approximation des Potentials
Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

34 Laplace und Beltrami Operator
Laplace Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)

35 Kugelfunktionen Approximation des Potentials
Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt! Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

36 Laplace und Beltrami Operator
Laplace Operator

37 Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1
Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1

38 Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung

39 Lösung der Laplace Gleichung
Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Erneute Separation Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen

40 Lösung der Laplace Gleichung
Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Alle Linearkombination der speziellen Lösungen sind auch Lösungen für r<1 für r>1 Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel

41 Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs.
Lösung der Laplacegleichung

42 Kugelfunktionen Variante 1: Variante 2: Zusammenhang: für m>=0

43 Kugelfunktionen Schreibweise 1: Schreibweise 2:
Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen Schreibweise 3: Es gibt auch noch eine Darstellung bei der sin und cos zu einer komplexen Funktion zusammengefasst werden. Man findet alle Darstellungen in der Literatur. Zusammenhang: