Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen

Präsentation zum Thema: "Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen"—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen

2 0. Inhalt/Organisatorisches
Eigenspannungen (Ursachen, Auswirkungen, Einteilung, Messung, Beispiele, …) (1) Grundlagen der Elastizitätstheorie (tensorielle Eigenschaften von Kristallen) (2) Röntgenographische Verfahren (3-9) Messanordnungen (3) Bestimmung der Dehnungen (4) Beugungsverfahren – Euler-Wiege (5) Beugungsverfahren – Auswertung (6) Beugungsverfahren – streifender Einfall (7) Vom Dehnungstensor zum Spannungstensor - Anisotropie (8) Fehler bei der Spannungsbestimmung (9) nicht-röntgenographische Verfahren (10-11) Stokes-Gleichung (10) Ultraschalltechnik (11) Fragestunde (12) Literatur: Noyan, Cohen, Hauk, Welzel

3 3. Beugungsgeometrien Übung:

4 5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? Netzebenenabstände dfy Und was benötigt man zur Bestimmung des Spannungstensors skl? Dehnungen efy bzw eij Elastizitätstensor Cijkl bzw. Sijkl spannungsfreien Gitterparameter

5 5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? bisher nur ein Element des Spannungstensors ermittelt (sin2y-Methode mit streifendem Einfall) nun: Messungen um alle Elemente eine dreiachsigen Spannungszustandes zu ermitteln  c-Modus, typischerweise an einem Reflex sin2y-sin(2y)-Methode

6 Was kann man mit Röntgenbeugung messen?
5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? bisher nur ein Element des Spannungstensors ermittelt (sin2y-Methode mit streifendem Einfall) nun: Messungen um alle Elemente eine dreiachsigen Spannungszustandes zu ermitteln  c-Modus, typischerweise an einem Reflex sin2y-sin(2y)-Methode 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 𝜀 33 cos 2 𝜓

7 5. Beugungsverfahren II Einschub: Anmerkungen zur Dehnungsmessung an Polykristallen 𝜀 𝑖𝑗 →〈 𝜀 𝑖𝑗 〉 Noyan, Cohen S. 136

8 5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) generell gilt: efy ist weder linear in sin2y noch in sin2y  Zerlegen in einzelne Komponenten (separat zu messen) zur Erzeugung von Linearitäten Abtrennen der Scherkomponenten si3 Messung bei f = 0°, 45°, 90°, sowie Paaren von ±y 𝑎 𝜑+ ℎ𝑘𝑙 sin2 y 𝑚= 𝐴 𝜙 + 𝑎 𝜑− ℎ𝑘𝑙 sin 2y 𝑚= 𝐴 𝜙 − 𝜙=0°, 45°, 90°

9 sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene)
5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) 𝜎 11 = 𝐴 0° 𝑆 2 +〈 𝜎 33 〉 𝜎 12 = 𝑆 2 𝐴 45° + − 𝐴 0° + + 𝐴 90° + 2 𝜎 13 = 𝐴 0° − 𝑆 2 𝜎 22 = 𝐴 90° 𝑆 2 +〈 𝜎 33 〉 𝜎 23 = 𝐴 90° − 𝑆 2 𝜎 33 = 𝑆 2 +3 𝑆 1 𝜀 𝜙0° − 𝑆 𝑆 2 𝐴 0° + + 𝐴 90° +

10 5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) Wdh.: Was muss man messen? Welche Darstellungen muss man wählen? aussuchen einer Netzebene {hkl} Messen der Netzebenenabstände dfy bei 0°, 45°, 90° jeweils für 0 ≤ y ≤ 90 und -90 ≤ y ≤ 0 sowie d0y bei verschiedenen f-Winkeln: e0f zusammen mit d0 werden jeweils berechnet: e0°,y>0; e45°,y>0; e90°,y>0 e0°,y<0; e45°,y<0; e90°,y<0 daraus werden die Auftragungen a+f: a0°,y>0; a45°,y>0; a90°,y>0; gegen sin2y a-f: a0°,y<0; a90°,y<0; gegen sin(2y) ermitteln der zugehörigen Anstiege durch lineare Regression: A+f: A0°,y>0; A45°,y>0; A90°,y>0; A-f: A0°,y<0; A90°,y<0; Berechnen der sij aus den gegebenen Gleichungen (Achtung: Indizes beziehen sich auf das Probenkoordinatensystem)

11 5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene)

12 5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) Anmerkungen bzgl. der praktischen Situation bis auf wenige Ausnahmen kann man davon ausgehen, dass s33 = 0 Messung von ef0 entfällt! mit jeder Spannungskomponente, welche zu 0 wird, vereinfacht sich die Auswertung dreiachsig: 6 unbekannte Komponenten (s11, s12, s22, s13, s23, s33) dreiachsig, Hauptspannungssystem: 3 unbekannte Komponenten (s11, s22, s33) zweiachsig: 3 unbekannte Komponenten (s11, s12, s22) zweiachsig, Hauptspannungssystem: 2 unbekannte Komponente (s11, s22) zweiachsig, rotationssymmetrisch: 1 unbekannte Komponente (s11) einachsig: 1 unbekannte Komponente (s11) die Auftragung a-f gegen sin2y entfällt, wenn s13 = s23 = 0  nur a+f vs. sin2y

13 5. Beugungsverfahren II Fourieranalyse (qualitativ) die Dehnung efy ist eine Funktion von f mit der Periode 2p  Fourierserie der 2. Ordnung in f 𝜀 𝜙𝜓 = 𝑛=0 2 𝐴 𝑛 𝜓 cos (𝑛𝜙) + 𝐵 𝑛 𝜓 sin (𝑛𝜙) mit den Fourier-Koeffizienten 𝐴 0 𝜓 = 𝜀 11 + 𝜀 sin 2 𝜓 +2 𝜀 33 cos 2 𝜓 𝐴 1 𝜓 = 𝜀 13 sin 2𝜓 𝐴 2 𝜓 = 𝜀 11 − 𝜀 sin 2 𝜓 𝐵 1 𝜓 = 𝜀 23 sin 2𝜓 𝐵 2 𝜓 = 𝜀 12 sin 2 𝜓

14 5. Beugungsverfahren II Fourieranalyse (qualitativ) über eine Fouriertransformation können die An(y) und Bn(y) aus den gemessenen efy (feste y-Winkel, 0 ≤ f ≤ 2p) berechnet werden 𝐴 𝑛 𝜓 = 1 𝜋 0 2𝜋 𝜀 𝜙𝜓 cos (𝑛𝜙) 𝑑𝜙 𝐵 𝑛 𝜓 = 1 𝜋 0 2𝜋 𝜀 𝜙𝜓 sin (𝑛𝜙) 𝑑𝜙 aus den vollständigen Messdaten für f bei 2 verschiedenen y Winkeln können alle 6 unabhängigen eij gewonnen werden mehr y-Winkel verbessern die statistische Relevanz (numerische Lösung) Spannungstensor: 𝜎 𝑖𝑗 = 𝑆 2 𝜀 𝑖𝑗 − 𝑆 𝑆 2 +3 𝑆 1 𝜀 11 + 𝜀 22 + 𝜀 33

15 Messungen an mehreren {hkl}-Netzebenen
5. Beugungsverfahren II Messungen an mehreren {hkl}-Netzebenen erlaubt Eigenspannungsmessung ohne y-Verkippung (aber auch mit ☺) es gibt spezielle Verfahren für zweiachsige: g(y, hkl)-Verfahren und rotationssymmetrische, zweiachsige Spannungszustände 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 𝜀 0°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 𝜎 𝜎 22 f = 0° 𝜀 45°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 11 +〈 𝜎 22 〉 f = 45° 𝜀 90°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 𝜎 𝜎 22 f = 90°

16 Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes - Hintergrund:
5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes - Hintergrund: 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 𝜀 33 cos 2 𝜓 ist ein lineares Gleichungssystem bei Messung von mehr als 6 efy kann dieses numerisch gelöst werden mindestens 6 efy müssen voneinander unabhängig sein, hinsichtlich der trigonometrischen Ausdrücke mit f und y lineare Regressionen werden nicht mehr benötigt

17 Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes
5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Ziel: Minimierung des Unterschiedes c2 von Dehnungen, welche mit Hilfe der Grundgleichung berechnet wurden und solchen, die gemessen wurden (unter Berücksichtigung der Winkel f und y) 𝜒 2 = 𝑖 𝜔 𝑖 [ 𝜀 𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝜎 ,ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 − 𝜀 𝑖 𝑚𝑒𝑎𝑠 ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 ] → min Parameter: i…laufender Index für alle bei fi und yi gemessenen Dehnungen wi…Wichtung (z.B. Kehrwert der Standardabweichung für eimeas) sij…unbekannte Komponenten des Spannungstensors = Fitparameter

18 5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Vorteile: direkte Aussage zu den Fehlern über wi größtmögliche Freiheit hinsichtlich der Wahl der f und y, sowie der Anzahl der gemessenen hkl einfache Auswertung über numerische Methoden (insbesondere bei elastisch anisotropen Materialien) erlaubt die Bestimmung der Spannungstensorkomponenten, wenn die sin2y-sin2y-Methode nicht möglich ist (z.B. fehlende Beugungslinien) bei vereinfachten Analysen [weniger als 6 unabhängige Tensorkomponenten), werden Parametereinschränkungen getroffen (constraints)] aus Gründen der Vergleichbarkeit sollten Ergebnisse der numerischen Analyse ebenfalls in Form von sin2y-Plots dargestellt werden  optische Verifizierung. „Was ist eigentlich in der Probe los?“

19 Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes
5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Zircalloy 013 – Reflex quasiisotrop 5 unabh. Komponenten d0 angepaßt (muß bzgl. instrum. Fehler korrigiert werden) fit auf dfy-Ebene

20 5. Beugungsverfahren II Übung: Datensatz (gerechnet, 3 oder 5 Komponenten) vorgeben  sin2y-sin2y-Methode anwenden Rückrechnen auf sij