Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate 521.202 / SES.125 Parameterschätzung Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate Torsten Mayer-Gürr

Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen): 100,006 m 100,005 m 99,995 m 100,008 m 99,993 m 0,000 m 99,996 m 99,998 m 99,992 m 100,000 m 100,004 m 99,991 m 99,997 m 100,002 m … Grober Fehler 14.10.2015

Messfehler Grobe Fehler: Falschen Punkt angemessen Rechenfehler / Programmierfehler … Systematische Fehler: Kalibrierung des Instruments fehlerhaft (Maßstabsfaktor im Instrument) Nicht beachtete physikalische Effekte (Laufzeitverzögerung in der Atmosphäre, Erdkrümmung, …) (Mitteln sich nicht heraus) Zufällige Fehler: Elektronisches Rauschen Turbulenzen in der Atmosphäre Nicht vorhersagbar => In dieser Vorlesung behandelt 14.10.2015

Beispiel Histogramm von 10000 Beobachtungen Anzahl Gemessene Strecke (reduziert um 100 m) [mm] 14.10.2015

Beispiel Schätzung der wahren Strecke aus den verrauschten Beobachtungen: Histogramm Mittelwert: Beobachtungen Schätzung des wahren Werts Anzahl der Beobachtungen Schätzung der Genauigkeit einer einzelnen Beobachtungen: Angabe der Standardabweichung: l3 = 99,997 m ± 0,005 m Varianz: ca. 68,3% der Beobachtungen liegen in ca. 95,5% der Beobachtungen liegen in ca. 99,7% der Beobachtungen liegen in Redundanz/ Freiheitsgrade: Ein Messwert wurde zur Berechnung des Mittelwerts benötigt Standardabweichung: 14.10.2015

Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen) Beobachtungen (Messwerte) Wahrer Wert Residuen (Messrauschen) 14.10.2015

Ausgleichende Gerade 14.10.2015

Änderung des mittleren Meeresspiegels Wie bestimmt man eine Gerade, so dass sie am besten zu den gemessenen Werten passt? 14.10.2015

Ausgleichende Gerade Gemessen: zum Zeitpunkt zum Zeitpunkt Höhe [mm] n=731 Messungen Beobachtungsgleichungen: Zeit [Tage] Residuen (Messrauschen) Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die Gerade (die Parameter a und b) so, dass der quadratische Abstand der Beobachtungen von der Geraden (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird. Beobachtungen Modell: Geradengleichung m=2 unbekannte Parameter: a, b 14.10.2015

Tafel: ausgleichende Gerade 14.10.2015

Absolutschweremessungen 14.10.2015

Schweremessungen Absolutgravimeter 14.10.2015

Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Gemessen: zum Zeitpunkt Gesucht: Physikalisches Modell: m=3 unbekannte Parameter n=11 Messungen 14.10.2015

Schweremessungen Absolutgravimeter Freier Fall Beobachtungsgleichungen: Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die unbekannten Parameter (g, v0 und h0) so, dass der quadratische Abstand (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird. 14.10.2015

Schweremessungen Beobachtungsgleichungen: Gauss: Methode der kleinsten Quadrate Wähle die unbekannten Parameter (g, v0 und h0) so, dass der quadratische Abstand (die Quadratsumme der Residuen) möglichst klein wird. Notwendige Bedingungen für ein Minimum von => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 14.10.2015

Schweremessungen Beobachtungsgleichungen: Zusammenfassung der Beobachtungen, Parameter und Residuen in Vektoren Beobachtungsgleichungen in Matrix-Schreibweise 14.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes 14.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes 14.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes Beobachtet: Nivellierte Höhenunterschiede Gesucht: Höhen der Festpunkte 14.10.2015

Ausgleich eines Höhennetzes Beobachtungsgleichungen 14.10.2015

Lineare Gleichungssysteme 14.10.2015

Matrix Lineares Gleichungssystem: In Matrix Schreibweise: 14.10.2015

Matrix Lineares Gleichungssystem: In Matrix Schreibweise: 14.10.2015

Multiplikation 14.10.2015

Matrixmultiplikation Rechenregeln: und Im allgemeinen 14.10.2015

Transponiert 14.10.2015

Die Transponierte einer Matrix Definition: Vertauscht man in einer (n x m) Matrix A die Zeilen und Spalten, so entsteht die transponierte (m x n) Matrix AT. Rechenregeln: 14.10.2015

Inverse 14.10.2015

Inverse Matrix Definition: Existiert eine quadratische (n x n) Matrix B, so dass AB=I und BA=I gilt, so ist B die inverse Matrix von A. Die A heißt dann regulär, im anderen Fall singulär. Satz: Die Inverse einer regulären Matrix ist eindeutig bestimmt und wird mit A-1 bezeichnet. Rechenregeln: 14.10.2015

Funktionen und Vektoren 14.10.2015

Funktionen und Vektoren Beispiel: Länge eines Vektors: Die Länge ist eine Funktion von x, y, z Beispiel: Länge eines Vektors: mit Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen 14.10.2015

Funktionen und Vektoren Beispiel: Polarkoordinaten aus kartesisischen Koordinaten Linearisierung: Linearisierung: mit den partiellen Ableitungen 14.10.2015

Tafel: Ableitung von Funktionen 14.10.2015