13. Transformationen mit Matrizen

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2 13. Transformationen mit Matrizen

3 Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine mn Matrix und X eine n1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung fA: n  m Y = fA(X) = A  X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. Die Umkehrabbildung ergibt sich mit Hilfe der inversen Matrix A-1 (falls diese existiert) A-1  Y = fA-1(Y) = X.

4 Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine mn Matrix und X eine n1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung fA: n  m Y = fA(X) = A  X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. surjektiv, nicht injektiv injektiv, nicht surjektiv

5 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel j um Z0 = W0 (j) = { U0, V0, W0 }  = { X0, Y0, Z0 } = (0) U0(0) = X0 U0(j) =

6 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel j um Z0 = W0 (j) = { U0, V0, W0 }  = { X0, Y0, Z0 } = (0) U0(0) = X0 U0(j) = V0(j) =

7 Die Koordinaten eines im gedrehten System (j) festen Vektors
sind in  A(j) = D  A(0) =  =

8 Um den Übergang von  nach (j) zu finden, benötigen wir die inverse Matrix D-1.

9 D-1 = DT Solche Matrizen heißen orthogonale Matrizen. Denselben Effekt erhält man durch Umkehrung der Drehrichtung, d. h. durch Ersetzen von j durch (-j).

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17 13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme
A  X = homogen A  X = B mit B ≠ 0 inhomogen Sei A  C = B Alle anderen Lösungen C' sind dann von der Gestalt C' = C + C* wobei A  C* = 0 A  (C + C*) = A  C + A  C* = B = B

18 Es sei C' eine beliebige und C die bekannte Lösung, dann ist
A  (C' - C) = A  C' - A  C = B B = 0 Also ist (C' - C) = C*  C' = C + C*  Jedes homogene Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung C* = 0. Aber nicht jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine Lösung. A  X = B hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en)  A  X = 0 hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en). A  X = 0 hat nur eine Lösung  A  X = B hat eine oder keine Lösung.

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21 Definition. Die Menge aller Vektoren aus n, die auf den Null-vektor abgebildet werden, also die Lösungsmenge des homo-genen Gleichungssystems, nennen wir Kern der Abbildung: Kern (fA) = { X  n | fA(X) = 0 } Kern (fA) ist ein Unterraum des Definitionsbereichs, also des n-dimensionalen Vektorraums, denn Addition zweier Vektoren aus Kern (fA) sowie Multiplikation mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor aus Kern (fA). A  X = 0 und A  X' = 0  A  (X + X') = 0 A  X = 0  A  lX = l(A  X) = l0 = 0 n m

22 Definition. Die Menge aller Vektoren aus m, die Bilder von Vektoren X aus n sind, nennen wir Bild der Abbildung: Bild (fA) = { B  m | B = fA(X) } Bild (fA) ist ein Unterraum des m-dimensionalen Bildraums. Sind B und B' Bilder, d. h. A  X = B und A  X' = B', so ist auch B + B' ein Bild, nämlich von X + X', das mit X und X' auch zum Urbildraum gehört. A  X = B und A  X' = B'  A  (X + X') = B + B' A  X = B  A  lX = l(A  X) = lB n m

23 Definition. Die Dimension des Kerns dim (Kern (fA)) heißt Defekt der Abbildung.
Definition. Die Dimension des Bildes dim (Bild (fA)) heißt Rang der Abbildung.

24 Abbildungen mit der mn Matrix A:
(1) Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems A  X = 0 ist Kern (fA). Das homogene Gleichungssystems besitzt nur eine Lösung  Defekt (fA) = 0. (2) Das inhomogene Gleichungssystem A  X = B besitzt mindestens eine Lösung C  B  Bild (fA). (3) Sei C eine solche Lösung, dann ist die gesamte Lösungsmenge von A  X = B die Menge { C + Kern (fA) }. A  X = B hat dann genau eine Lösung  Defekt (fA) = 0. (4) Defekt (fA) + Rang (fA) = dim (n) = n.

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