Graphische Datenverarbeitung

Präsentation zum Thema: "Graphische Datenverarbeitung"—  Präsentation transkript:

1 Graphische Datenverarbeitung
Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen

2 Der Euklidische Raum Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit bezeichnet. Ein Vektor in diesem Raum ist ein n-Tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

3 Spezielle Vektoren Ein Vektor kann sowohl als Punkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete Linie (vom Ursprung zu diesem Punkt), also als Richtungsvektor, interpretiert werden. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

4 Anmerkungen zum Euklidischen Raum
Der Euklidische Raum ist die Grundlage der klassischen euklidischen Geometrie (Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie), erstmals systematisch beschrieben in den Elementen des Euklid (365v.Chr. – 300 v.Chr.). Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie (Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze) und insbesondere auch das Euklidische Parallelenaxiom: „Liegt ein Punkt P nicht auf einer Geraden g, dann gibt es zu g genau eine Parallele p durch den Punkt P.“ Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

5 Nichteuklidische Räume
Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt Galileo Galilei ( ) Erst im 19. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die elliptische Geometrie oder die hyperbolische Geometrie systematisch zu beschreiben, in denen das euklidische Parallelenaxiom nicht gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie. Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

6 Operatoren auf Vektoren im Euklidischen Raum
Addition: Multiplikation mit einem Skalar : Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

7 Rechenregeln für Vektoroperationen im Euklidischen Raum
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8 Betrag eines Vektors (engl. norm)
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9 Skalarprodukt im Euklidischen Raum (inneres Produkt, Punktprodukt)
Im Euklidischen Raum ist ein Skalarprodukt definiert: Es gelten folgende Regeln: Die letzte Regel sagt: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal, engl. perpendicular) wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

10 Orthogonale Projektion eines Vektors
Die orthogonale Projektion w eines Vektors u auf einen Vektor v ist gleich Eine solche Projektion liefert eine orthogonale Dekomposition von u in w und (u-w), d.h. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

11 Geometrische Interpretation des Skalarproduktes
u-w u u f f v w v Der Vektor u wird orthogonal auf den Vektor v projiziert. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

12 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u,v im R3 ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: w v f û Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

13 Eigenschaften des Vektorprodukts
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14 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basis eines Vektorraumes
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig. Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine Basis des durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor v dieses Raumes kann dann als Linear-kombination der Basisvektoren geschrieben werden: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

15 Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt
Spezielle Basen Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt heißt orthogonal. Gilt zusätzlich dann heißt diese Basis orthonormal. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

16 Weitere Regeln Für eine orthonormale Basis und einen beliebigen Vektor p=(p0,p1, ...,pn-1) gilt: Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis e, bei welcher der i-te Basisvektor ei in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist – im dreidimensionalen: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

17 Matrizen Unter einer Matrix vom Typ (m,n) oder mxn-Matrix versteht man ein rechteckiges Schema von Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente mjk reelle (oder auch komplexe) Zahlen. M heißt quadratisch, wenn m=n gilt. Vektoren sind spezielle Matrizen vom Typ (m,1), genannt Spaltenvektoren oder (1,n), genannt Zeilenvektoren. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

18 Spezielle Matrizen Graphische Datenverarbeitung
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19 Transponierte(transpose) adjungierte und adjunkte (adjoint) Matrizen
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20 Weitere spezielle Matrizen
Sei M eine (nxn)-Matrix. M* bezeichne die adjungierte Matrix (für reelle Matrizen gilt MT=M*): (i) A heißt genau dann selbstadjungiert, wenn M = M* (ii) A heißt genau dann schiefadjungiert, wenn M = -M* (iii) A heißt genau dann unitär (orthogonal), wenn MM* = M*M = E (iv) A heißt genau dann normal, wenn MM* = M*N Die Matrizen (i)-(iii) sind normal. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

21 Eigenschaften unitärer (orthogonaler) Matrizen
Wenn M eine unitäre (orthogonale) Matrix ist, dann gilt: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

22 Orthonormale und orthogonale Matrizen
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23 Operationen auf Matrizen Addition
Für zwei (mxn)-Matrizen M und N gilt Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

24 Operationen auf Matrizen Multiplikation Skalar-Matrix
Ein Skalar a und eine Matrix M können multipliziert werden, so daß das Produkt Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

25 Operationen auf Matrizen Matrix-Matrix
Für die (pxq)-Matrix M und die (qxr)-Matrix N (also für verkettete Matrizen) ist das Produktmatrix T eine (pxr)-Matrix mit Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

26 Determinanten einer Matrix
Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

27 Spur (Trace) einer Matrix
Unter der Spur tr M der (nxn)-Matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

28 Weitere Eigenschaften der Determinante
Für (3x3)-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spalten-vektoren mit Eine Basis ist genau dann rechtshändig (right-handed), wenn ihre Determinante positiv ist Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig (left-handed) Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

29 Rechenregeln für Determinanten
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30 Inverse einer Matrix Rechenregeln
M-1 existiert nur für quadratische Matrizen M, deren Determinante ist. Dann gilt M-1 M = M M-1 = E Rechenregeln Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

31 Eigenwerte und Eigenvektoren
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