Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr Satellitengeodäsie Kugelfunktionen (Teil 2) Torsten Mayer-Gürr

product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e Gravitationspotential

Torsten Mayer-Gürr Approximation des Potentials durch räumliche Polynome Approximation

Torsten Mayer-Gürr Homogene, harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch  Die Approximation sollte auch harmonisch sein  Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch  Die Approximation sollte auch harmonisch sein  Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Standardabweichungen der Monatslösung ITG-Grace2010s ( )

Torsten Mayer-Gürr Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Approx. durch Kugelflächenfunktionen Approximation durch Kugelflächenfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung

Torsten Mayer-Gürr Lösung der Laplace Gleichung Laplace Gleichung Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Erneute Separation DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen

Torsten Mayer-Gürr Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Alle Linearkombination der speziellen Lösungen sind auch Lösungen für r<1 für r>1 Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier- Reihe auf der Kugel

Torsten Mayer-Gürr Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs. Lösung der Laplacegleichung Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs. Lösung der Laplacegleichung

Torsten Mayer-Gürr Kugelfunktionen Variante 1: Variante 2: Zusammenhang: für m>=0 für m<0

Torsten Mayer-Gürr Kugelfunktionen Man findet alle Darstellungen in der Literatur. Zusammenhang: Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen Es gibt auch noch eine Darstellung bei der sin und cos zu einer komplexen Funktion zusammengefasst werden. Schreibweise 1: Schreibweise 2: Schreibweise 3:

Torsten Mayer-Gürr Diskussion der Kugelfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=4:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=20:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Basisfunktionen Grad n=40:

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Zonale Kugelflächenfunktionen (m=0) Polynom vom Grad n hat n Nullstellen, Keine Abhängigkeit von der Länge Polynom vom Grad n hat n Nullstellen, Keine Abhängigkeit von der Länge

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Sektorielle Kugelflächenfunktionen (m=n) 2n Nullstellen entlang eines Breitenkreises n-te Ableitung eines Polynoms vom Grad n ist eine Konstante Nullstellen bei -1 (Südpol) und +1 (Nordpol)

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen mit Tesserale Kugelflächenfunktionen (0<m<n) 2m Nullstellen entlang eines Breitenkreises m-te Ableitung eines Polynoms vom Grad n ist ein Polynom von Grad n-m mit n-m Nullstellen Nullstellen bei -1 (Südpol) und +1 (Nordpol)

Torsten Mayer-Gürr Basisfunktionen C 00 A 00 C 11 S 11 C 10 C 20 C 30 C 40 S 22 S 21 S 31 S 33 S 32 S 41 S 42 S 44 S 43 C 21 C 22 C 31 C 41 C 32 C 33 C 42 C 43 C 44 C 50 S 51 S 52 S 54 S 53 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 S 55 zonalsektoriell tesseral Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Rummel

Torsten Mayer-Gürr Potential im Außenraum

Torsten Mayer-Gürr Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

Torsten Mayer-Gürr Kugelfunktionen Approximation des Potentials Die Reihe konvergiert nur für r<1 Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: letzte Vorlesung Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: letzte Vorlesung Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials

Torsten Mayer-Gürr Gravitationspotential der Erde

Torsten Mayer-Gürr Potential im Außenraum bezogen auf Einheitskugel r = 1 Potential im Außenraum bezogen auf Einheitskugel r = Gravitationspotential im Außenraum Numerische Probleme bei der Anwendung auf das Gravitationsfeld der Erde, z.B. wenn das Potential an der Erdoberfläche berechnet werden soll (r = 6378 km). Formel mit Erdradius R, Erdmasse M und Gravitationskonstante G => Koeffizienten sind einheitenlos und beziehen sich auf die Erdoberfläche. mit

Torsten Mayer-Gürr product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e Gravitationsfeldlösung GM R R

Torsten Mayer-Gürr icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

Torsten Mayer-Gürr icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

Torsten Mayer-Gürr Anwendung: Gravitationsfeldbestimmung

Torsten Mayer-Gürr CHAMP

Torsten Mayer-Gürr Bahnbestimmung GPS Antenne

Torsten Mayer-Gürr Bahnenergie Bahnenergie bei Keplerbahnen Kinetische Energie Potentielle Energie Konstante Gesamtenergie Potential einer Punktmasse Umstellen Kinetische Energie: -Geschwindigkeit aus GPS abgeleitet -Korrigiert um Reibungskräfte (Akzelerometer) -Korrigiert um Gezeitenkräfte von Sonne und Mond (später in der Vorlesung) -Zentrifugalkräfte (Details in der Mastervorlesung Advanced Satellite Geodesy) Kinetische Energie: -Geschwindigkeit aus GPS abgeleitet -Korrigiert um Reibungskräfte (Akzelerometer) -Korrigiert um Gezeitenkräfte von Sonne und Mond (später in der Vorlesung) -Zentrifugalkräfte (Details in der Mastervorlesung Advanced Satellite Geodesy) Allgemeines Gravitationspotential  Berechnung des Gravitationspotentials entlang der Satellitenbahn

Torsten Mayer-Gürr Beobachtungsgleichungen Gauß-Markoff Modell

Torsten Mayer-Gürr Quellendarstellung: Zusammenhang von Dichteverteilung und Potentialkoeffizienten Quellendarstellung: Zusammenhang von Dichteverteilung und Potentialkoeffizienten

Torsten Mayer-Gürr Quellendarstellung Aufpunkt Quellpunkt Distanz Zwischenwinkel Reihenentwicklung der reziproken Distanz Gravitationspotential aus Dichteverteilung Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen

Torsten Mayer-Gürr Quellendarstellung Gravitationspotential aus Dichteverteilung

Torsten Mayer-Gürr Quellendarstellung Gravitationspotential im Außenraum einer Massenverteilung Gravitationspotential im Außenraum als Kugelfunktionsreihe Durch Koeffizientenvergleich folgt

Torsten Mayer-Gürr Quellendarstellung Gravitationspotential im Außenraum einer Massenverteilung Reihenentwicklung mit Reihenentwicklung mit Alternative Darstellung mit Alternative Darstellung mit

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=0, m=0

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=1, m=0

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation Gravitationspotential mit den Koeffizienten Gravitationspotential mit den Koeffizienten Normierte Basisfunktionen Beispiel n=1, m=0

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation Gesamtmasse Massenmittelpunkt Trägheitstensor

Torsten Mayer-Gürr Physikalische Interpretation Gesamtmasse Massenmittelpunkt Trägheitstensor falls Gesamtmasse = M Massenmittelpunkt Abplattung Äquatorabplattung Abplattung Äquatorabplattung Deviationsmomente

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Gesamtmasse Kugel, Keplerterm Gesamtmasse Kugel, Keplerterm

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Massenzentrum

Torsten Mayer-Gürr Koeffizientendreieck Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m Trägheitsachsen (Rotation) Trägheitsachsen (Rotation)

Torsten Mayer-Gürr product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree 180 key n m C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e Gravitationsfeldlösung