Kapitel 2: Fourierreihe

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1 Kapitel 2: Fourierreihe
SoE 2011 Kapitel 2: Fourierreihe SiSy, Rumc, 2-1 Inhalt 2.1. Einleitung 2.2. Sinus-/Cosinus-Darstellung der Fourierreihe 2.3. Betrag-/Phasen-Darstellung der Fourierreihe 2.4. Komplexe Darstellung der Fourierreihe 2.5. Leistungsberechnung im Frequenzbereich 2.6. Numerische Approximation der Fourierkoeffizienten siehe auch Kapitel 5.2 in I. Rennert, B. Bundschuh, „Signale und Systeme – Einführung in die Systemtheorie“, Carl Hanser Verlag, 2013. Projektleitung

2 2.1. Einleitung SiSy, Rumc, 2-2 Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich analysiert werden Die Analyse im Frequenzbereich ist oft vorteilhaft. Wir betrachten in diesem Kapitel analoge periodische Signale und deren Frequenzkomponenten bzw. Spektralkomponenten. Spektralanalyse basiert auf Fourierreihe Die Fourieranalyse ist eines der wichtigsten Resultate der angewandten Mathematik und geht zurück auf J.B. Fourier ( ) Beispiel aus der Optik: Lichtbrechung und Spektralfarben Spektralfarben weisses (Sonnen) Licht

3 2.1. Einleitung SiSy, Rumc, 2-3 Beispiel Übertragung bipolarer Datenstrom über eine Leitung … Input Output Tbit T0 = 1/f0 Oszilloskop Spektrum- Analyzer Leitung Sender Empfänger Wie gross muss die Bandbreite B min. sein für «formtreue» Übertragung mit Daten-Rate Rbit = 1/Tbit? Antwort: B ≈ 5·f0 = 2.5·Rbit

4 Linearer Mittelwert, DC-Anteil, Gleichanteil
2.2. Sinus-/Cosinus-Darstellung SiSy, Rumc, 2-4 Fourier ( ): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: „gerader" Signalanteil „ungerader" Signalanteil k≥0 Cosinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum k≥1 Sinus-Amplitudenspektrum Linearer Mittelwert, DC-Anteil, Gleichanteil

5 2.2. Beispiel Periodisches Dreieck-Signal (gerade) Fourierreihe Ak
SiSy, Rumc, 2-5 Periodisches Dreieck-Signal (gerade) DC-Anteil, 1. & 3. Harmonische Fourierreihe Ak

6 2.2. Beispiel Rechtecksignal (periodisch, ungerade) Fourierreihe
SiSy, Rumc, 2-6 Rechtecksignal (periodisch, ungerade) s1(t) = B1·sin(2π·f0·t) s3(t) = B3·sin(2π·3f0·t) s5(t) = B5·sin(2π·5f0·t) Fourierreihe wobei B1 = 4/π und Bk = B1 / k wenn k ungerade

7 2.2. Verallgemeinerung der Beispiele
SiSy, Rumc, 2-7 Allgemein gilt (siehe z.B. periodisches Dreiecksignal): Jedes periodische Signal, das stetig ist, aber nicht-differenzierbare (Knick-) Stellen aufweist, enthält hochfrequente Harmonische, deren Amplituden mit 1/k2 abnehmen. Allgemein gilt (siehe z.B. periodisches Rechtecksignal): Jedes periodische Signal, das unstetige (Sprung-) Stellen aufweist, enthält „hochfrequente Harmonische, deren Amplituden mit 1/k abnehmen.

8 2.2. Gütekriterium für die Approximation
SiSy, Rumc, 2-8 Jede cos- oder sin-Schwingung in der Fourierreihe approximiert das periodische Signal s(t) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: s(t) soll mit A1·cos(2π·f0·t) approximiert werden, wobei f0 = 1/T0 Frage: Welches A1 minimiert die Summe der Fehlerquadrate? Lösung: dΔ / dA1 = 0 => optimaler Koeffizient A1 ist identisch mit dem entsprechenden Fourierkoeffizienten! Fehler r(t)

9 2.2. Gütekriterium für die Approximation
SiSy, Rumc, 2-9 Die einzelne Koeffizienten Ak und Bk dürfen unabhängig voneinander optimiert werden, weil die harmonischen Schwingungen orthogonal sind.

10 2.2. Gibb‘sches Phänomen Approximation von Unstetigkeitsstellen
SiSy, Rumc, 2-10 Approximation von Unstetigkeitsstellen Periodisches Rechtecksignal: Periodisches Rechtecksignal: Gibb’sches Phänomen (Überschwingen bei Nachbildung der Flanke / Unstetigkeit) verschwindet selbst für K   nicht.

11 2.3. Betrag-Phasen-Darstellung
SiSy, Rumc, 2-11 Fourierreihe in Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit Sinus-Cosinus-Koeffizienten Mk·cos(2πkf0t+φk) = Mk·cos(φk)·cos(2πkf0t) - Mk·sin(φk)·sin(2πkf0t) Ak -Bk M0 = A0/2 k>0 Jedes periodische Signal hat ein einseitiges Betrag-Phasen-Linienspektrum! Beispiel: Periodisches Rechtecksignal s(t) mit Sp=1 Mk M1 4/π φk Mk = Bk = (4/π)/k M3 f0 3f0 5f0 M5 f φk = -arctan(Bk/0) = -π/2 f -π/2 k>0 ungerade f0 3f0 5f0

12 2.4. Komplexe Darstellung SiSy, Rumc, 2-12 1 komplexer statt 2 reelle Koeffizienten pro Harmonische Ausgangspunkt ist eine einzelne Fourierkomponente Umformung mit Euler-Formel Zusammenfassung ej… und e-j… Terme ck c-k

13 2.4. Komplexe Darstellung Fourierreihe in komplexer Darstellung
SiSy, Rumc, 2-13 Fourierreihe in komplexer Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten c0 = A0/2 für k≥1 Jedes periodische Signal hat ein zweiseitiges komplexes Linienspektrum! Beispiel: Periodisches Rechtecksignal s(t) mit Sp=1 IckI arg(ck) 2/π π/2 f0 (2/π)/3 3f0 5f0 f -5f0 -3f0 -f0 f -π/2 f0 3f0

14 2.4. Beispiele SiSy, Rumc, 2-14 Komplexe Fourierreihe des cos-Signals s(t) = cos(2π·f0·t) Eulerformel (Fourierreihe!) Fourierkoeffizienten c1 = c-1 = 0.5 und ck = 0 für IkI ≠ 1 Zweiseitiges komplexes Linien-Spektrum

15 2.4. Beispiele SiSy, Rumc, 2-15 Komplexe Fourierreihe des sin-Signals s(t) = sin(2π·f0·t) Eulerformel (Fourierreihe!) Fourierkoeffizienten c1 = -j/2, c-1 = j/2 und ck = 0 für IkI ≠ 1 Zweiseitiges komplexes Linien-Spektrum

16 2.4. Kontrollfragen SiSy, Rumc, 2-16 Sie analysieren ein periodisches Signal s(t) mit Periode T0=1ms. Was bedeutet c17 = 0.1·ej·π/4 in diesem Zusammenhang? s(t) besitzt auf dem Spektrumanalyser bei 17 kHz eine Spektrallinie mit einem Betrag von 2·0.1=0.2. Ob das viel oder wenig ist, hängt davon ab, wie gross die anderen Fourierkoeffizienten IckI, k≠17, sind. Die Phasenverschiebung der 17. Harmonischen beträgt 45°. Antwort: Was können Sie grundsätzlich über das Spektrum von s(t) aussagen? Das Spektrum von s(t) weist auch eine positive DC-Komponente auf s(t) ist periodisch und besteht deshalb aus Grundschwingung und Harmonischen s(t) besitzt also ein Linienspektrum mit Spektrallinien bei Vielfachen von 200 Hz Sprungstelle im Signal: Spektrallinien zerfallen betragsmässig nur mit 1/k Antwort:

17 2.5. Leistungsberechnung im Frequenzbereich
SiSy, Rumc, 2-17 Die Harmonischen sind orthogonal deshalb dürfen DC-Leistung und AC-Leistungen addiert werden DC-Leistung AC-Leistung k>0 Satz von Parseval

18 2.5. Beispiel SiSy, Rumc, 2-18 Leistung P von x(t) = cos(2π·f0·t) + cos(2π·2f0·t), wobei f0 = 1 kHz x(t) cos(2π·2f0·t) cos(2π·f0·t) Lösung mit dem Satz von Parseval P = (A1)2/2 + (A2)2/2 = 1/2 + 1/2 = 1 Die Lösung im Zeitbereich:

19 2.5. Beispiel Klirrfaktor SiSy, Rumc, 2-19 Oberwellen sind ein Mass für Abweichung von reinem Sinus-Signal Beispiel: Lineare Verzerrung bei einem Audioverstärker Definition Klirrfaktor des Signals s(t) Xrms-Oberwellenanteil / Xrms reines Sinus- Eingangssignal reale Verstärkerkurve periodisches Ausgangs- signal mit Oberwellen! ideal RMS-Wert Signal ohne Grundschwingung Srms

20 2.6. Numerische Approximation ck
SiSy, Rumc, 2-20 Approximation Integral mit N Abtastwerten einer Periode (T0=N·Ts) 1/T0 = 1/(NTs) Diskrete Fourier- transformation (DFT) k=0, 1, …, N-1 Approximation ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2

21 2.6. Numerische Approximation
SiSy, Rumc, 2-21 Beispiel periodisches Rechtecksignal N Abtastwerte Ic1I=2/π 1 t Ic1I/3 Ts T0=N·Ts -1 N=1024; % Stützwerte pro Periode s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; % 1 Periode Rechtecksignal S=fft(s); % DFT, schnell berechnet mit Fast Fourier Transform c=S/N; % Achtung c0=c(1), c1=c(2) stem([0:20], abs(c(1:21)),'filled'); grid; % plot Betrag xlabel('f / f_0'); ylabel('abs(c_k)'); % erste 21 ck-Werte P=sum(abs(c).^2) % Leistung (Parseval) zur Verifikation (=1)